Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc cạnh góc – Toán 7

Ở bài trước các em đã được tìm hiểu và luyện tập Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh góc cạnh. Đến bài học hôm nay, các em sẽ đi tìm hiểu trường hợp cuối cùng. Vậy trường hợp thứ ba là gì? và có khác gì so với hai trường hợp còn lại thì hôm nay chúng ta sẽ tiếp tục tới bài Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc cạnh góc. Hãy cùng iToan tìm hiểu nhé!

Mục tiêu bài học: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc cạnh 

• Nắm chắc và hiểu các ví dụ về Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc cạnh .
• Hiểu các phương pháp làm bài tập.
• Hoàn thành tất cả các bài tập trong sách giáo khoa cũng như bài tập tự luyện để nâng cao và mở rộng kiến thức.

Lý thuyết cần nhớ bài Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc cạnh 

1. Trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau

2. Trường hợp bằng nhau cạnh huyền – góc nhọn của tam giác vuông:

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

3. Các dạng toán

Dạng 1: VẼ TAM GIÁC BIẾT MỘT CẠNH VÀ HAI GÓC KỀ

Phương pháp giải.

Vẽ một cạnh của tam giác, rồi vẽ hai tia để xác định vị trí của đỉnh còn lại.

Dạng 2: TÌM HOẶC CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU THEO TRƯỜNG HỢP GÓC – CẠNH – GÓC

Phương pháp giải.

• Xét hai tam giác.
• Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau góc – cạnh – góc.
• Kết luận hai tam giác bằng nhau.

Dạng 3: SỬ DỤNG TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU GÓC – CẠNH – GÓC ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU.

Phương pháp giải

• Chọn hai tam giác có cạnh là đoạn thẳng cần chứng minh bằng nhau.
• Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc.
• Suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau.

Dạng 4: SỬ DỤNG NHIỀU TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC 

Phương pháp giải

Sử dụng nhiều trường hợp bằng nhau của hai tam giác đã học: cạnh – cạnh – cạnh, cạnh – góc – cạnh, góc – cạnh – góc.

Dạng 5. TÌM HOẶC CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC VUÔNG BẰNG NHAU.

Phương pháp giải

• Xét hai tam giác vuông
• Kiểm tra điều kiện bằng nhau cạnh – góc – cạnh, hoặc góc – cạnh – góc,   hoặc cạnh huyền – góc nhọn.
• Kết luận hai tam giác bằng nhau.

Dạng 6: SỬ DỤNG TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CẠNH HUYỀN – GÓC NHỌN ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU.

Phương pháp giải.

• Chọn hai tam giác vuông có cạnh là hai đoạn thẳng cần chứng minh bằng nhau.
• Chứng minh hai tam giác ấy bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền góc nhọn.
• Suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau.

Nội dung bài học ngày hôm nay khá quan trọng, nên các em hãy ghi bài thật cẩn thận nhé. Các em hãy kết hợp xem thêm video bài giảng itoan đính kèm dưới đây để đạt được hiệu quả học tập cao nhất.

Bài tập SGK Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc cạnh góc

Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 1 Bài 5 trang 121:

Vẽ thêm tam giác A’B’C’ có : B’C’ = 4cm ; ∠B’ = 60^o; ∠C’ = 40^o. Hãy đo để kiểm nghiệm rằng AB = A’B’. Vì sao ta kết luận được ΔABC = ΔA’B’C’?

Hướng dẫn giải bài tập:

ΔABC và ΔA’B’C’ có:

AB = A’B’

∠B = ∠B’

BC = B’C’

⇒ ΔABC = ΔA’B’C’ (cạnh – góc – cạnh)

Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 1 Bài 5 trang 122:

Tìm các tam giác bằng nhau ở mỗi hình 94, 95, 96

Hướng dẫn giải bài tập:

• Hình 94:

ΔABD và ΔCDB có:

∠(ABD) = ∠(BDC) (gt)

BD cạnh chung

∠(ADB) = ∠(DBC)

Nên ΔABD = ΔCDB (g.c.g)

• Hình 95

Ta có: ∠(EFO) + ∠(FEO) + ∠(EOF) = ∠(GHO) + ∠(HGO) + ∠(GOH) = 180^o

∠(EFO) = ∠(GHO) (Gt)

∠(EOF) = ∠(GOH) (hai góc đối đỉnh)

⇒ ∠(FEO) = ∠(HGO)

ΔEOF và ΔGOH có

∠(EFO) = ∠(OHG) (gt)

EF = GH (gt)

∠(FEO) = ∠(HGO) (CMT)

Nên ΔEOF = ΔGOH (g.c.g)

• Hình 96

ΔABC và ΔEDF có

∠(BAC)= ∠(DEF) (gt)

AC = EF

∠(ACB) = ∠(EFD)

Nên ΔABC = ΔEDF (g.c.g)

Bài 33 (trang 123 SGK Toán 7 Tập 1): 

Vẽ tam giác ABC biết AC = 2cm, ∠A = 90^o và ∠C = 60^o

Hướng dẫn giải bài tập:

Cách vẽ:

– Vẽ đoạn thẳng AC = 2cm

– Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC vẽ các tia Ax và Cy sao cho ∠CAx = 90^o và ∠ACy = 60^o

Hai tia cắt nhau tại B. Ta được tam giác ABC cần vẽ.

Bài 34 (trang 123 SGK Toán 7 Tập 1): 

Trên mỗi hình 98, 99 có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?

Hướng dẫn giải bài tập:

+ Hình 98: ∆ABC = ∆ABD (g.c.g) vì:

∠(BAC)=∠(BAD) (gt)

AB cạnh chung

∠(ABC)=∠(ABD)

+ Hình 99:

• ∆ADC = ∆AEB (g.c.g) vì:

∠D=∠E

DC = EB

( Vì DC = DB + BC; EB= EC + BC mà  DB = EC)

∠(ACD) = ∠(ABE) (gt)

• Lại có ∠(ABD) + ∠(ABC) = ∠(ACE) + ∠(ACD) (=180^o)

∠(ABC) = ∠(ACD) (gt) => ∠(ABD) = ∠(ACE)

∆ABD = ∆ACE (g.c.g) vì

∠(ABD) = ∠(ACE) ( chứng minh trên)

BD = EC

∠D = ∠E (gt)

Bài 35 (trang 123 SGK Toán 7 Tập 1): 

Cho góc xOy khác gọc bẹt Ot là tia phân giác của góc đó. Qua điểm H thuộc tia Ot, kẻ đường vuông góc với tia Ot, nó cắt Ox và Oy theo thứ tự ở A và B.

a) Chứng minh rằng OA = OB

b) Lấy điểm C thuộc tia Ot. Chứng minh rằng CA = CB và ∠(OAC) = ∠(OBC)

Hướng dẫn giải bài tập:

a) ΔAOH và ΔBOH có

∠ AOH = ∠ BOH (vì Ot là tia phân giác góc xOy)

OH cạnh chung

∠ OHA = ∠ OHB (= 90º)

⇒ ΔAOH = ΔBOH (g.c.g)

⇒ OA = OB (hai cạnh tương ứng).

b) ΔAOC và ΔBOC có:

OA = OB (cmt)

∠ AOC = ∠ BOC (vì Ot là tia phân giác góc xOy)

OC cạnh chung

⇒ ΔAOC = ΔBOC (c.g.c)

⇒ CA = CB (hai cạnh tương ứng)

∠ OAC = ∠ OBC ( hai góc tương ứng).

Bài 36 (trang 123 SGK Toán 7 Tập 1): 

Trên hình 100 ta có OA = OB, góc OAC = góc OBD. Chứng minh rằng AC = BD

Hướng dẫn giải bài tập:

Xét ΔOAC và ΔOBD có:

∠(OAC) = ∠(OBD) (gt)

OA = OB

∠O chung

Nên ΔOAC = ΔOBD (g.c.g)

Suy ra AC = BD (hai cạnh tương ứng).

Bài 37 (trang 123 SGK Toán 7 Tập 1): 

Trên mỗi hình 101, 102, 103 có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?

Hướng dẫn giải bài tập:

+ Hình 101: Xét ΔFDE có

∠D + ∠E +∠F = 180^o

=> ∠E = 180^o – ∠D – ∠F = 40^o

ΔABC và ΔFDE có:

∠B=∠D (= 80^o)

BC = DE (= 3)

∠C = ∠E (= 40^o)

=> ΔABC = ΔFDE (g.c.g)

+ Hình 102 :

∠L + ∠K + ∠M= 180^o => ∠L = 180^o – ∠K – ∠M= 70^o

ΔGHI và ΔMLK có: ∠M = ∠G; ML = GI; ∠L  ≠ ∠I

Do đó hai tam giác trên không bằng nhau

+ Hình 103 :

∠(QNR) + ∠Q + ∠(QRN) = 180^o

=> ∠(QNR) = 180o – ∠Q – ∠(QRN) = 80^o

∠(RNP) + ∠(NRP) + ∠P = 180^o

=> ∠(NRP) = 180^o – ∠(RNP) – ∠P = 80^o

ΔNQR và ΔRPN có:

∠(RNQ) = ∠(NRP) (= 80^o)

NR cạnh chung

∠(NRQ) = ∠(RNP) (= 40^o)

=> ΔNQR = ΔRPN (g.c.g)

Bài 38 (trang 124 SGK Toán 7 Tập 1): 

Trên hình 104 ta có AB // CD, AC // BD. Hãy chứng minh rằng AB = CD, AC = BD.

Hướng dẫn giải bài tập:

Kí hiệu góc như hình dưới:

                                 

Vẽ đoạn thẳng AD

Xét ΔABD và ΔDCA có:

∠(A₁) = ∠(D₁) ( so le trong vì AC // BD)

AD chung

∠(D₂) = ∠(A₂) ( so le trong vì AC // BD)

⇒ ΔADB = ΔDAC ( g.c.g)

⇒ AB = CD ; BD = AC (hai cạnh tương ứng).

Bài 39 (trang 124 SGK Toán 7 Tập 1): 

Trên mỗi hình 105, 106, 107, 108 có các tam giác vuông nào bằng nhau ? Vì sao?

Hướng dẫn giải bài tập:

+ Hình 105: ΔABH và ΔACH cùng vuông tại H có:

BH = CH (gt)

AH cạnh chung

⇒ ΔABH = ΔACH (hai cạnh góc vuông)

+ Hình 106: Xét ΔDKE vuông tại K và ΔDKF vuông tại K có:

DK chung

⇒ ΔDKE và ΔDKF (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

+ Hình 107: Xét ΔABD vuông tại B và ΔACD vuông tại C có:

AD chung

∠(BAD) = ∠(CAD) (gt)

⇒ ΔABD = ΔACD (cạnh huyền – góc nhọn )

+ Hình 108:

• ΔABD = ΔACD (cạnh huyền – góc nhọn) (giống hình 107).

⇒ AB = AC và BD = CD (hai cạnh tương ứng)

• Xét ΔABH vuông tại B và ΔACE vuông tại C có

Góc A chung

AB = AC

⇒ΔABH = ΔACE (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

• Xét ΔDBE vuông tại B và ΔDCH vuông tại C có:

∠(BDE) = ∠(CDH)

BD = DC (chứng minh trên)

⇒ ΔDBE = ΔDCH (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Bài 40 (trang 124 SGK Toán 7 Tập 1): 

Cho ΔABC (AB ≠ AC) tia Ax đi qua trung điểm M của BC. Kẻ BE và CF vuông góc với Ax (E, F thuộc Ax). So sánh các độ dài BE và CF.

Hướng dẫn giải bài tập:

           

Hai tam giác vuông BME và CMF có

BM = CM ( M là trung điểm BC)

∠(BME) = ∠(CMF) ( Hai góc đối đỉnh)

⇒ ΔBME = ΔCMF (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ BE = CF (hai cạnh tương ứng).

* Chú ý: Các em có thể suy nghĩ tại sao cần điều kiện AB ≠ AC ?

Bài 41 (trang 124 SGK Toán 7 Tập 1): 

Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Vẽ ID ⊥ AB (D ∈ AB), IE ⊥ BC (E ∈ BC), IF ⊥ CA (F ∈ CA). Chứng minh ID = IE = IF.

Hướng dẫn giải bài tập:

Xét ΔBID (góc D = 90º) và ΔBIE (góc E = 90º) có:

BI là cạnh chung

góc IBD = góc IBE (do BI là tia phân giác góc ABC)

⇒ ΔBID = ΔBIE (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ ID = IE (2 cạnh tương ứng) (1)

Tương tự, xét ΔCIE (góc E = 90º) và ΔCIF (góc F = 90º) có:

CI là cạnh chung

góc ICE = góc ICF (do CI là tia phân giác góc ACB)

⇒ ΔICE = ΔICF (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ IE = IF (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ID = IE = IF (đpcm)

Bài 42 (trang 124 SGK Toán 7 Tập 1): 

Cho tam giác ABC có góc A = 90^o. Kẻ AH vuông góc với BC. Các tam giác AHC và BAC có AC cạnh chung, góc C là góc chung, góc AHC = góc BHC = 90^o nhưng hai tam giác này không bằng nhau.

Tại sao ở đây không thể áp dụng trường hợp góc – cạnh góc để kết luận tam giác AHC = tam giác BAC

Hướng dẫn giải bài tập:

Hai tam giác AHC và BAC có:

AC chung

∠C góc chung

∠(AHC) = ∠(BAC)

Nhưng hai tam giác này không bằng nhau vì góc AHC không phải là góc kề với cạnh AC.

Bài 43 (trang 125 SGK Toán 7 Tập 1): 

Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy các điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy các điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng

a) AD = BC

b) ΔEAB = ΔECD

c) OE là tia phân giác của góc xOy

Hướng dẫn giải bài tập:

a) ΔOAD và ΔOCB có:

OA = OC (gt)

Góc O chung

OD = OB (gt)

⇒ ΔOAD = ΔOCB (c.g.c)

⇒ AD = BC (hai cạnh tương ứng).

b) Do ΔOAD = ΔOCB (chứng minh trên)

Suy ra: ∠D = ∠B

Ta có: ∠(A₂) + ∠B + ∠(AEB)

= ∠(CED) + ∠D + ∠(C₂) (= 180^o)

∠(AEB) = ∠(CED); ∠B= ∠D nên ∠(A₂) = ∠(C₂)

OA = OC, OB = OD ⇒ OB – OA = OD – OC hay AB = CD.

Xét ΔAEB và ΔCED có:

∠B = ∠D

AB = CD

∠A2 = ∠C2

⇒ΔAEB = ΔCED (g.c.g)

c) ΔAEB = ΔCED ⇒ EA = EC (hai cạnh tương ứng)

ΔOAE và ΔOCE có

OA = OC

EA = EC

OE cạnh chung

⇒ ΔOAE = ΔOCE (c.c.c)

=> ∠(AOE) = ∠(COE) ( hai góc tương ứng)

Vậy OE là tia phân giác của góc xOy.

Bài 44 (trang 125 SGK Toán 7 Tập 1): 

Cho ΔABC có góc B = góc C. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Chứng minh rằng

a) ΔADB = ΔADC

b) AB = AC

Hướng dẫn giải bài tập:

                             

a)

• Tổng ba góc của tam giác ABD bằng 180^o nên:

∠(A1) + ∠(D1) + ∠B = 180^o (1)

• Tổng ba góc của tam giác ADC bằng 180^o nên:

∠(A1) + ∠(D1) + ∠B = 180^o (2)

Do AD là tia phân giác của góc A nên ∠(A₁) = ∠(A₂) (3)

Theo giả thiết: ∠B = ∠C (4)

Từ (1) (2) (3) và (4) suy ra ∠(D₁) = ∠(D₂)

Xét ΔADB và ΔADC có:

∠(A₁) = ∠(A₂) ( do AD là tia phân giác của góc A)

AD chung

∠(D₁) = ∠(D₂) ( chứng minh trên)

Do đó ΔADB = ΔADC (g.c.g)

b) ΔADB = ΔADC ( câu a )

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Bài 45 (trang 125 SGK Toán 7 Tập 1): 

Đố: Cho bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trên giấy kẻ ô vuông như ở hình 110. Hãy dùng lập luận để giải thích

a) AB = CD, BC = AD

b) AB // CD

Hướng dẫn giải bài tập:

+ ΔAHB và ΔCKD có

HB = KD (=1)

góc AHB = góc CKD(=90º)

AH = CK (=3).

⇒ ΔAHB = ΔCKD(c.g.c)

⇒AB = CD (hai cạnh tương ứng)

+ ΔCEB và ΔAFD có

BE = DF (=2)

góc BEC = góc DFA (=90º)

CE = AF (=4).

⇒ ΔCEB = ΔAFD ( c.g.c)

⇒ BC = AD (hai cạnh tương ứng)

b) ΔABD và ΔCDB có

AB = CD

AD = BC

BD cạnh chung

⇒ ΔABD = ΔCDB (c.c.c)

⇒ góc ABD = góc CDB (hai góc tương ứng)

Vậy AB // CD ( hai gó so le trong bằng nhau )

Lời kết

Bài học về Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc cạnh góc đến đây là kết thúc. Nếu các em gặp khó khăn trong việc giải quyết bài toán nào thì hãy liên hệ với itoan để được giúp đỡ nhé! Các ơn các em đã theo dõi bài học ngày hôm nay. itoan chúc các em học tập thật tốt và đạt được nhiều điểm 8,9, 10 trong quá trình học.

Xem thêm bài giảng:

• Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông- Toán lớp 7
• Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh góc cạnh
• Tổng 3 góc của 1 tam giác – Lý thuyết & Bài tập SGK Toán 7