Cấp số cộng- Bài tập & Lời giải Đại số 11

5/5 - (4 bình chọn)

Tiết học hôm trước chúng ta đã được học về Dãy số. Cấp số cộng cũng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn). Bài giảng: Cấp số cộng – Bài tập & Lời giải Đại số 11 được iToan biên soạn theo chương trình sách giáo khoa toán 11, có bổ sung thêm phần bài tập tự luyện giúp các em củng cố và nâng cao kiến thức.

Lý thuyết cần nắm về Cấp số cộng

Định nghĩa

Định nghĩa: 

  • Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
  • Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
  • Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi un=un1+d  với nN(1)

Đặc biệt khi d=0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Ví dụ: Chứng minh dãy số 1,3,7,11,15 là một cấp số cộng.

Ta có:

3=1+(4) ; 11=7+(4);

7=3+(4)15=11+(4);

Nên theo định nghĩa, dãy số 1,3,7,11,15 là một cấp số cộng với công sai d=4.

Số hạng tổng quát

Định lý 1: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức

un=u1+(n1)dvới n2 (2)

Ví dụ: Cho cấp số cộng (un), biết  u1=5,d=3

a. Tìm  u15

b. Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu.

Giải

a. Theo công thức (2) ta có  u15=5+(151)×3=37

b. Theo công thức (2) ta có un=5+(n1)×3

Vì un=100 nên 5+(n1)×3=100n=36

Tính chất các số hạng của cấp số cộng

Định lý 2: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó

Hệ quả: Ba số a,b,c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng a+c=2b.

Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng

Ví dụ: Cho dãy số (un) với un=3n1.

a. Chứng minh dãy (un) là cấp số cộng. Tìm u1 và d.

b. Tính tổng của 50 số hạng đẩu.

c. Biết Sn=260, tìm n.

Giải

a. Vì un=3n1 nên u1=2.

Với n1, xét hiệu un+1un=3(n+1)1(3n1)=3,

un+1=un+3

Vậy (un) là cấp số cộng với công sai d=3.

b. Vì u1=2,d=3,n=50 nên theo công thức (4) ta có

S50=50.2+50.49/ 2×3=3775

c. Vì u1=2,d=3,Sn=260 nên theo công thức (4) ta có

Sn=n×2+n(n1)/ 2×3=2603n2+n520=0n=13

Giải bài tập SGK Đại số 11 Cấp số cộng

Bài 1 (trang 97 SGK Đại số 11): 

Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó.

Lời giải:

a. Vì un = 5 – 2n nên u1 = 5 – 2 = 3

Xét hiệu sau:

un+1 – un = [5 – 2(n + 1)] – (5 – 2n) = 5 – 2n – 2 – 5 + 2n = -2

⇒ un+1 = un – 2

Vậy (un) là cấp số cộng với công sai d = – 2

Giải bài tập Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

c. un = 3n ⇒ u1 = 3

giả sử n ≥ 1, xét hiệu sau:

un+1 – un = 3n+1 – 3n = 3n . 3 – 3n = (3 – 1).3n = 2.3n

và un – un-1 = 3n – 3n-1 = 3.3n-1 – 3n-1 = (3- 1).3n-1 = 2.3n-1

⇒ un+1 – un ≠ un – un– 1 (vì 3n ≠ 3n-1, ∀ n )

⇒ (un) không phải là cấp số cộng.

Giải bài tập Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 2 (trang 97 SGK Đại số 11): 

Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:

Giải bài 2 trang 97 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

a) Ta có : u3 = u+ 2d ;

u5 = u1 + 4d ;

u6 = u1 + 5d

Theo đề bài ta có :

Giải bài 2 trang 97 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

b. Ta có: u7 = u1 + 6d ; u= u1 + 2d ; u2 = u+ d

Do đó theo đề bài ta có:

Giải bài 2 trang 97 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 3 (trang 97 SGK Đại số 11): 

Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng u1, d, n, un, Sn.

a.Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?

b.Lập bảng theo mẫu sau và điền vào số thích hợp vào ô trống:

Giải bài 3 trang 97 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

a. Mối liên hệ giữa các công thức:

Giải bài 3 trang 97 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Dựa vào các công thức trên thấy cần phải biết ít nhất 3 đại lượng để tìm được các đại lượng còn lại.

b. Ta có bảng:

Giải bài 3 trang 97 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải thích:

+ Với u1 = -2; un = 55; n = 20

Giải bài 3 trang 97 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

+ Với d = -4 ; n = 15 ; Sn = 120

Giải bài 3 trang 97 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 3 trang 97 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

+ Với un = 17; n = 12; Sn = 72

Giải bài 3 trang 97 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

+ Với u1 = 2; d = -5; Sn = -205.

Giải bài 3 trang 97 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

⇒ un = u10 = u1 + 9d = -43.

Bài 4 (trang 98 SGK Đại số 11): 

Mặt sàn tầng một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cm.

a. Viết công thức để tìm độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân.

b. Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.

Lời giải:

a. Mỗi bậc thang cao 18cm = 0,18m.

⇒ n bậc thang cao 0,18.n (m)

Vì mặt bằng sàn cao hơn mặt sân 0,5m nên công thức tính độ cao của bậc n so với mặt sân sẽ là:

hn = (0, 5 + 0,18n) (m)

b. Độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với n = 21 là:

h21 = 0,5 + 0,18.21 = 4,28 (m)

Bài 5 (trang 98 SGK Đại số 11): 

Từ 0 đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu có chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng tiếng giờ?

Lời giải:

Lúc 1 giờ đồng hồ đánh 1 tiếng chuông.

Lúc 2 giờ đồng hồ đánh 2 tiếng chuông

……

Lúc 12 giờ trưa đồng hồ đánh 12 tiếng chuông.

Do đó, từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là:

1+ 2+ 3+ …. + 11+ 12

Đây là tổng 12 số hạng của cấp số cộng có số hạng đầu u1= 1, công sai d = 1

Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ 0 đến 12 giờ trưa là:

Giải bài 5 trang 98 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài tập tự luyện Cấp số cộng

Các bài tập tự luyện do iToan biên soạn sẽ giúp các em luyện tập và củng cố kiến thức!

Phần câu hỏi

Câu 1:

Câu 2:Cho một cấp số cộng có u1=3;u6=27 . Tìm d ?

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Câu 3: Cho cấp số cộng un có: u1=0,1;d=0,1 . Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là:

A. 1,6

B. 0,6

C. 6

D. 0,5

Câu 4: Cho cấp số cộng un có: u1=0,1;d=1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6.

B. Cấp số cộng này không có hai số 0,5 và 0,6.

C. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là: 0,5

D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9

Câu 5: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120 .

A. 1,5,6,8

B. 2,4,6,8

C. 1,4,6,9

D. 1,5,7,8

Phần đáp án

1.B          2.C           3.C        4.B       5. B

Lời kết

Bài giảng hôm nay kết thúc tại đây. Hy vọng sau bài học này, các em đã hiểu được khái niệm cũng như cách tìm công thức tổng quát của cấp số cộng. Để nghe lại những bài giảng đã qua hay học trước những bài mới, các em có thể học trên Toppy. Toppy là nền tảng học trực tuyến tốt nhất, cam kết sẽ giúp các em tiến bộ qua từng khóa học.

>> Xem thêm:

Minh Phương

Là 1 giáo viên Toán tôi luôn nỗ lực không ngừng để mang đến cho học sinh những bài học sinh động, lý thú, giúp các em vững vàng kiến thức và say mê, yêu thích môn Toán hơn.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *