Cấp số cộng- Bài tập & Lời giải Đại số 11

Tiết học hôm trước chúng ta đã được học về Dãy số. Cấp số cộng cũng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn). Bài giảng: Cấp số cộng – Bài tập & Lời giải Đại số 11 được iToan biên soạn theo chương trình sách giáo khoa toán 11, có bổ sung thêm phần bài tập tự luyện giúp các em củng cố và nâng cao kiến thức.

Lý thuyết cần nắm về Cấp số cộng

Định nghĩa

Định nghĩa: 

• Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
• Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
• Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi un=un−1+d  với n∈N∗(1)

Đặc biệt khi d=0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Ví dụ: Chứng minh dãy số 1,−3,−7,−11,−15 là một cấp số cộng.

Ta có:

−3=1+(−4) ; −11=−7+(−4);

−7=−3+(−4); −15=−11+(−4);

Nên theo định nghĩa, dãy số 1,−3,−7,−11,−15 là một cấp số cộng với công sai d=−4.

Số hạng tổng quát

Định lý 1: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức

un=u1+(n−1)dvới n≥2 (2)

Ví dụ: Cho cấp số cộng (un), biết  u1=−5,d=3

a. Tìm  u15

b. Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu.

Giải

a. Theo công thức (2) ta có  u15=−5+(15−1)×3=37

b. Theo công thức (2) ta có un=−5+(n−1)×3

Vì un=100 nên −5+(n−1)×3=100⇔n=36

Tính chất các số hạng của cấp số cộng

Định lý 2: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó

Hệ quả: Ba số a,b,c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng ⇔a+c=2b.

Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng

Ví dụ: Cho dãy số (un) với un=3n−1.

a. Chứng minh dãy (un) là cấp số cộng. Tìm u1 và d.

b. Tính tổng của 50 số hạng đẩu.

c. Biết Sn=260, tìm n.

Giải

a. Vì un=3n−1 nên u1=2.

Với n≥1, xét hiệu un+1−un=3(n+1)−1−(3n−1)=3,

⇒un+1=un+3

Vậy (un) là cấp số cộng với công sai d=3.

b. Vì u1=2,d=3,n=50 nên theo công thức (4′) ta có

S50=50.2+50.49/ 2×3=3775

c. Vì u1=2,d=3,Sn=260 nên theo công thức (4′) ta có

Sn=n×2+n(n−1)/ 2×3=260⇔3n2+n−520=0⇔n=13

Giải bài tập SGK Đại số 11 Cấp số cộng

Bài 1 (trang 97 SGK Đại số 11): 

Trong các dãy số (u_n) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó.

Lời giải:

a. Vì u_n = 5 – 2n nên u₁ = 5 – 2 = 3

Xét hiệu sau:

u_n+1 – u_n = [5 – 2(n + 1)] – (5 – 2n) = 5 – 2n – 2 – 5 + 2n = -2

⇒ u_n+1 = u_n – 2

Vậy (u_n) là cấp số cộng với công sai d = – 2

c. u_n = 3ⁿ ⇒ u₁ = 3

giả sử n ≥ 1, xét hiệu sau:

u_n+1 – u_n = 3ⁿ⁺¹ – 3ⁿ = 3ⁿ . 3 – 3ⁿ = (3 – 1).3ⁿ = 2.3ⁿ

và u_n – u_n-1 = 3ⁿ – 3^n-1 = 3.3^n-1 – 3^n-1 = (3- 1).3^n-1 = 2.3^n-1

⇒ u_n+1 – u_n ≠ u_n – u_{n– 1} (vì 3ⁿ ≠ 3^n-1, ∀ n )

⇒ (u_n) không phải là cấp số cộng.

Bài 2 (trang 97 SGK Đại số 11): 

Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:

Lời giải:

a) Ta có : u₃ = u₁ + 2d ;

u₅ = u₁ + 4d ;

u₆ = u₁ + 5d

Theo đề bài ta có :

b. Ta có: u₇ = u₁ + 6d ; u₃ = u₁ + 2d ; u₂ = u₁ + d

Do đó theo đề bài ta có:

Lời kết

Bài giảng hôm nay kết thúc tại đây. Hy vọng sau bài học này, các em đã hiểu được khái niệm cũng như cách tìm công thức tổng quát của cấp số cộng. Để nghe lại những bài giảng đã qua hay học trước những bài mới, các em có thể học trên Toppy. Toppy là nền tảng học trực tuyến tốt nhất, cam kết sẽ giúp các em tiến bộ qua từng khóa học.

>> Xem thêm:

• Nguyên hàm- Giải tích 12
• Tích phân- Giải tích 12
• 6 cộng với 1 số: 6+5