Cấp số nhân – Bài tập &Lời giải Đại số 11

5/5 - (3 bình chọn)

Tiếp theo bài Cấp số cộng hôm trước, hôm nay chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về Cấp số nhân. Bài giảng được iToan biên soạn, với mục đích tổng hợp lại các kiến thức cần nắm, hướng dẫn giải bài tập SGK Đại số 11 và giúp các em nâng cao kiến thức qua những bài tập tự luyện. 

Lý thuyết cần nắm về Cấp số nhân

Sau đây là tổng hợp lý thuyết ngắn gọn & dễ hiểu nhất, giúp các em nắm được kiến thức và kĩ năng cần thiết!

Định nghĩa

Định nghĩa

  • Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số không đổi q.
  • Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
  • Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi un+1=un.q với nN(1)
  • Đặc biệt:

– Khi q=0, cấp số nhân có dạng u1,0,0,...,0,...

– Khi q=1, cấp số nhân có dạng u1,u1,u1,...,u1,...

– Khi u1=0  thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0,0,0,...,0,...

Ví dụ: Chứng minh dãy số sau là cấp số nhân: 4,1,1/4,1/16,1/64.

Giải

Vì:

1=(4).(1/4);1/4=1.(1/4);

1/16=(1/4).(1/4);1/64=1/16.(1/4);

Nên dãy số 4,1,1/4,1/16,1/64 là một cấp số nhân với công bội q=1/4

Số hạng tổng quát

Định lý 1: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q0 thì số hạng tổng quát un của nó được tính bởi công thức:

Cấp số nhân

Giải

Cấp số nhân

a. Áp dụng công thức (2) ta có:

 

u7=u1.q^6=3.(1/2)^6=3/64.

b. Theo công thức (2) ta có:

un=3(1/2)^n1=3/256(1/2)^n1=1/256=(1/2)^8.

n1=8n=9

Vậy số 3/256 là số hạng thứ chín.

Tính chất các số hạng của cấp số nhân

Định lý 2: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, tức là:

Cấp số nhân

Hệ quả: Nếu a,b,c là ba số khác 0, thì ba số a,b,c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi b^2=ac.

Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cấp số nhân

Chú ý: Nếu q=1 thì Sn=n.u1.

Ví dụ: Cho cấp số nhân  (un), biết u1=2;u3=18. Tính tổng của mười số hạng đầu tiên.

Giải

Theo giả thiết u1=2;u3=18. Ta có:

Cấp số nhân

 

Giải bài tập SGK Đại sô 11 Cấp số nhân

Bài 1 (trang 103 SGK Đại số 11): 

Chứng minh các dãy số Giải bài 1 trang 103 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 là các cấp số nhân.

Lời giải:

Giải bài 1 trang 103 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

⇒ (un) là cấp số nhân với công bội q = 2.

Giải bài 1 trang 103 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

⇒ (un) là cấp số nhân với công bội Giải bài 1 trang 103 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 1 trang 103 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

⇒ (un) là cấp số nhân với công bội Giải bài 1 trang 103 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 2 (trang 103 SGK Đại số 11): 

Cho cấp số nhân (un) với công bội q

a.Biết u1 = 2, u6 = 486. Tìm q

b.Biết q = 2/3 , u4 = 8/21 . Tìm u1

c.Biết u1 = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy?

Lời giải:

a. Ta có: u6 = u1.q5

hay 486 = 2.q5

⇒ q5 = 243

⇒ q = 3.

b. u4 = u1.q3

Giải bài 2 trang 103 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

c. un = u1.qn – 1

hay 192 = 3.(-2)n – 1

⇒ (-2)n – 1 = 64

⇒ (-2)n – 1 = (-2)6

⇒ n – 1 = 6

⇒ n = 7.

Vậy u7 = 192.

Bài 3 (trang 103 SGK Đại số 11): 

Tìm các số hạng của cấp số nhân (un) có năm số hạng, biết:

a.u3 = 3 và u5 = 27

b.u4 – u2 = 25 và u3 – u1 = 50

Lời giải:

Giả sử CSN (un) có công bội q.

a. Ta có: u3 = u1.q2 ; u5 = u1.q5.

Theo đề bài, ta có hệ phương trình :

Giải bài 3 trang 103 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

+ Với q = 3 ta có cấp số nhân : Giải bài 3 trang 103 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 ; 1 ; 3 ; 9 ; 27.

+ Với q = -3 ta có cấp số nhân : Giải bài 3 trang 103 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 ; -1 ; 3 ; -9 ; 27.

Giải bài 3 trang 103 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy 5 số hạng là:

Giải bài 3 trang 103 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 4 (trang 104 SGK Đại số 11): 

Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải:

Gọi cấp số nhân (un) cần tìm có công bội q, số hạng đầu tiên u1.

Giải bài 4 trang 104 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy CSN (un) là: 1; 2; 4; 8; 16; 32

Bài 5 (trang 104 SGK Đại số 11): 

Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh x là 1,4%. Biết rằng dân số của tỉnh hiện nay là 1, 8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm thì dân số của tỉnh đó tăng bao nhiêu?

Lời giải:

Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là N. Vì tỉ lệ tăng dân số là 1,4% nên sau một năm, số dân tăng thêm là 1,4%.N

Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là

Giải bài 4 trang 104 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Theo tỷ lệ tăng dân số 1,4% thì dân số hàng năm của tỉnh x là các số hạng của cấp số nhân với công bội q = 1,014

Và số hạng đầu u1 = 1,8 triệu

Theo công thức: un = u1.qn – 1

⇒ Dân số của tỉnh x sau 5 năm sau là:

u6 = 1,8.(1,014)5 ≈ 1.93 triệu (người)

⇒ Dân số sau 10 năm là:

u11 = 1,8.(1,014)10 ≈ 2.07 triệu (người).

Bài 6 (trang 104 SGK Đại số 11): 

Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C1 (hình bên). Từ hình vuông C2 lại tiếp tục như trên để được hình vuông C3… Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được các dãy các hình vuông C1, C2, C3, …,Cn

Gọi an là độ dài cạnh của hình vuông Cn. Chứng minh dãy số (an) là một cấp số nhân.

Lời giải:

Cạnh của hình vuông C1 là: a= 4 (giả thiết)

Giả sử cạnh hình vuông thứ n là an.

Theo định lý Py-ta-go : Cạnh hình vuông thứ n + 1 là :

Giải bài 6 trang 104 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài tập tự luyện Cấp số nhân

Các em hãy làm thêm nhiều bài tập tự luyện để củng cố và ghi nhớ kiến thức tốt hơn!

Phần câu hỏi

Câu 1: Cho dãy số: –1; 1; –1; 1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số này không phải là cấp số nhân

B. Số hạng tổng quát un = 1n =1

C. Dãy số này là cấp số nhân có u1= –1, q = –1

D. Số hạng tổng quát un = (1)^2n.

Câu 2: Cho dãy số : 1/2; 1/4; 1/8; 1/16; ... . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Dãy số này là cấp số nhân có u1=1,q=1/2

B. Số hạng tổng quát un=1/ 2^(n1)

C. Số hạng tổng quát un=1/ 2^n

D. Dãy số này là dãy số giảm

Câu 3: Cho dãy số: –1; –1; –1; –1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số này không phải là cấp số nhân.

B. Là cấp số nhân có u1=1; q = 1

C. Số hạng tổng quát un=1/ 2^n

D. Dãy số này là dãy số giảm

Câu 4: Cho cấp số nhân un với u1=2; q = – 5 . Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ?

Cấp số nhân

Câu 5: Cho cấp số nhân un với u1=3; q = 2. Số 192 là số hạng thứ mấy của un ?

A. Số hạng thứ 5.

B. Số hạng thứ 6.

C. Số hạng thứ 7.

D. Không là số hạng của cấp số đã cho.

Phần đáp án

1.C      2.B      3.B      4.D       5.C

Lời kết 

Bài giảng Cấp số nhân kết thúc tại đây. Hẹn lại các em tại bài học thú vị tiếp theo. Để học tốt môn toán 11 cũng như các môn học khác, các em có thể học trực tuyến với Toppy. Toppy có đầy đủ hệ thống bài giảng theo từng chủ đề, và bài tập từ cơ bản đến nâng cao, giúp các em tiến bộ qua từng bài học.

Chúc các em luôn học tốt!

>>Xem thêm:

Minh Phương

Là 1 giáo viên Toán tôi luôn nỗ lực không ngừng để mang đến cho học sinh những bài học sinh động, lý thú, giúp các em vững vàng kiến thức và say mê, yêu thích môn Toán hơn.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *