Cộng trừ đa thức 1 biến – Học toán 7 không khó cùng iToan

Chào mừng các bạn học sinh đến với lớp học của itoan. Trong bài học trước chúng ta đã học về định nghĩa và các đặc điểm của đa thức 1 biến. Hôm nay, chúng ta sẽ tiếp tục học về cách tính toán chúng. Vậy quy trình cộng trừ đa thức 1 biến gồm mấy bước và diễn ra như thế nào? Hãy cùng itoan tìm hiểu nhé!

Mục tiêu bài học: Cộng trừ đa thức 1 biến

Trong buổi học này, itoan và các bạn sẽ cùng nhau đạt những mục tiêu dưới đây nhé:

• Ôn lại và nắm chắc khái niệm đa thức một biến.
• Vận dụng các phương pháp đã học vào giải bài tập.

Lý thuyết bài học: Cộng trừ đa thức một biến

Quy tắc cộng trừ đa thức một biến là gì?

Hãy cùng itoan giải hai ví dụ dưới đây để hiểu rõ hơn về bài học nhé!

Ví dụ 1: Cho hai đa thức P(x) = x⁵ – 2x⁴ + x² – x + 1; Q(x) = 6 – 2x + 3x³ + x⁴ – 3x⁵. Tính P(x) – Q(x).

Hướng dẫn giải:

P(x) – Q(x) = (x⁵ – 2x⁴ + x² – x + 1) – (6 – 2x + 3x³ + x⁴ – 3x⁵)

= x⁵ – 2x⁴ + x² – x + 1 – 6 + 2x – 3x³ – x⁴ + 3x⁵

= 4x⁵ – 3x⁴ – 3x³ + x² + x⁵

Ví dụ 2: Cho f(x) = x⁵ – 3x⁴ + x² – 5 và g(x) = 2x⁴ + 7x³ – x² + 6. Tìm hiệu f(x) – g(x) rồi sắp xếp kết quả theo lũy thừa tăng dần của biến

Hướng dẫn giải:

f(x) – g(x) = x⁵ – 3x⁴ + x² – 5 – (2x⁴ + 7x³ – x² + 6)

= x⁵ – 3x⁴ + x² – 5 – 2x⁴ – 7x³ + x² – 6

= x⁵ + (- 3x⁴ – 2x⁴ ) – 7x³ + ( x² + x)² – 6 – 5

= x⁵ – 5x⁴ – 7x³ + 2x² – 11

Như vậy, sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến ta được: -11 + 2x² – 7x³ – 5x⁴ + x⁵

Các bạn học sinh nên kết hợp giữa nghe giảng và ghi chép truyền thống với phương pháp học qua video giảng dạy để đạt được kết quả cao trong học tập. iToan sẽ đính kém video giảng dạy bài cộng trừ đa thức 1 biến của thầy Hoàng Hà dưới đây để các bạn tham khảo nha.

Giải bài tập Sách giáo khoa Cộng, trừ đa thức một biến

Bài 44 (trang 45 SGK Toán 7 tập 2)

Cho hai đa thức:

Hãy tính P(x) + Q(x) và P(x) – Q(x).

Hướng dẫn giải:

Sắp xếp hai đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi sau đó thực hiện phép tính:

Bài 45 (trang 45 SGK Toán 7 tập 2)

Cho đa thức: P(x) = x⁴ – 3x² + 1/2 – x.

Tìm các đa thức Q(x), R(x) sao cho:

a) P(x) + Q(x) = x⁵ – 2x² + 1

b) P(x) – R(x) = x³

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Bài 46 (trang 45 SGK Toán 7 tập 2)

Viết đa thức P(x) = 5x³ – 4x² + 7x – 2 dưới dạng

a) Tổng của hai đa thức một biến.

b) Hiệu của hai đa thức một biến.

Bạn Vinh nêu nhận xét: “Ta có thể viết đa thức đã cho thành tổng của hai đa thức bậc 4”. Đúng hay sai? Vì sao?

Hướng dẫn giải:

a) Viết đa thức P(x) = 5x³ – 4x² +7x – 2 dưới dạng tổng của hai đa thức một biến.

Có nhiều cách viết, ví dụ:

Cách 1: Nhóm các hạng tử của đa thức P(x) thành 2 đa thức khác

P(x) = 5x³ – 4x² +7x – 2 = (5x³ – 4x²) + (7x – 2)

⇒ P(x) là tổng của hai đa thức một biến là: 5x³ – 4x² và 7x – 2

P(x) = 5x³ – 4x² +7x – 2 = 5x³ + (– 4x² + 7x– 2)

⇒ P(x) là tổng của hai đa thức một biến là: 5x³ và – 4x² + 7x– 2

Cách 2: Viết các hạng tử của đa thức P(x) thành tổng hay hiệu của hai đơn thức. Sau đó nhóm thành 2 đa thức khác.

Ví dụ: Viết 5x³ = 4x³ + x³; – 4x² = – 5x² + x²

Nên: P(x) = 5x³ – 4x² +7x – 2 = 4x³ + x³ – 5x² + x² +7x – 2

P(x) = (4x³ – 5x² + 7x) + (x³ + x² – 2)

⇒ P(x) là tổng của hai đa thức một biến là: 4x³ – 5x² + 7x và x³ + x² – 2.

b) Viết đa thức P(x) = 5x³ – 4x² +7x – 2 dưới dạng hiệu của hai đa thức một biến.

Có nhiều cách viết, ví dụ:

Cách 1: Nhóm các hạng tử của đa thức P(x) thành 2 đa thức khác

P(x) = 5x³ – 4x² +7x – 2 = (5x³ + 7x) – (4x² + 2)

⇒ P(x) là hiệu của hai đa thức một biến là: 5x³ + 7x và 4x² + 2

P(x) = 5x³ – 4x² +7x – 2 = (5x³ – 4x²) – (-7x + 2)

⇒ P(x) là hiệu của hai đa thức một biến là: 5x³ – 4x² và -7x + 2

Cách 2: Viết các hạng tử của đa thức P(x) thành tổng hay hiệu của hai đơn thức. Sau đó nhóm thành 2 đa thức khác

Ví dụ: Viết 5x³ = 6x³ – x³; – 4x² = – 3x² – x²

Nên: P(x) = 5x³ – 4x² +7x – 2 = 6x³ – x³ – 3x² – x² +7x – 2 = (6x³ – 3x² + 7x) – (x³ + x² + 2)

⇒ P(x) là hiệu của hai đa thức một biến là: 6x³ – 3x² + 7x và x³ + x² + 2

c) Bạn Vinh nói đúng:

Ta có thể viết đa thức đã cho thành tổng của hai đa thức bậc 4 chẳng hạn như: P(x) = 5x³ – 4x² +7x – 2 = (2x⁴ + 5x³ + 7x) + (–2x⁴ – 4x² – 2)

⇒ P(x) là tổng của hai đa thức bậc 4 là: 2x⁴ + 5x³ + 7x và –2x⁴ – 4x² – 2

Bài 47 (trang 45 SGK Toán 7 tập 2)

Cho các đa thức:

P(x) = 2x⁴ – x – 2x³ + 1

Q(x) = 5x² – x³ + 4x

H(x) = –2x⁴ + x² + 5

Tính P(x) + Q(x) + H(x) và P(x) – Q(x) – H(x).

Hướng dẫn giải:

Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần rồi xếp các số hạng đồng dạng theo cùng cột dọc ta được:

P(x) = 2x⁴– 2x³ – x +1

Q(x) = – x³ + 5x²+ 4x

H(x) = –2x⁴ + x²+ 5

Vậy: P(x) + Q(x) + H(x) = -3x³+ 6x² + 3x + 6.

P(x) – Q(x) – H(x) = 4x⁴ – x³ – 6x² – 5x – 4.

Bài 48 (trang 46 SGK Toán 7 tập 2)

Chọn đa thức mà em cho là kết quả đúng:

(2x3 – 2x + 1) – (3x2 + 4x – 1) = ?	2x3 + 3x2 – 6x + 2
	2x3 – 3x2 – 6x + 2
	2x3 – 3x2 + 6x + 2
	2x3 – 3x2 – 6x – 2

Hướng dẫn giải:

Đặt và thực hiện phép tính ta có :

Vậy chọn đa thức thứ hai.

Bài 49 (trang 46 SGK Toán 7 tập 2)

Hãy tìm bậc của mỗi đa thức sau:

M = x² – 2xy + 5x² – 1

N = x²y² – y² + 5x² – 3x²y + 5

Hướng dẫn giải:

a)

Rút gọn đa thức M ta có:

M = x² – 2xy + 5x² – 1 = (x²+ 5x²) – 2xy – 1 = 6x² – 2xy – 1

Sau khi rút gọn, M có các hạng tử là:

• 6x² có bậc 2
• – 2xy có bậc 2
• – 1 có bậc 0

Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất

⇒ Đa thức M = x² – 2xy + 5x² – 1 có bậc 2.

b)

N = x²y² – y² + 5x² – 3x²y + 5 có các hạng tử là

• x²y² có bậc 4 (vì biến x có bậc 2, biến y có bậc 2, tổng là 2 + 2 = 4)
• – y² có bậc 2
• 5x² có bậc 2
• – 3x²y có bậc 3 (vì biến x có bậc 2, biến y có bậc 1, tổng là 2 + 1 = 3)
• 5 có bậc 0

Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất.

⇒ Đa thức N = x²y² – y² + 5x² – 3x²y + 5 có bậc 4

Bài 50 (trang 46 SGK Toán 7 tập 2)

Cho các đa thức:

N = 15y³ + 5y² – y⁵ – 5y² – 4y³ – 2y

M = y² + y³ – 3y + 1 – y² + y⁵ – y³ + 7y⁵

a) Thu gọn các đa thức trên.

b) Tính N + M và N – M.

Hướng dẫn giải:

a)

N = 15y³ + 5y² – y⁵ – 5y² – 4y³ – 2y

= –y⁵ + (15y³ – 4y³) + (5y² – 5y²) – 2y

= –y⁵ + 11y³ + 0 – 2y

= – y⁵ + 11y³ – 2y.

Và M = y² + y³ – 3y + 1 – y² + y⁵ – y³ + 7y⁵

= (y⁵ + 7y⁵) + (y³ – y³) + (y² – y²) – 3y + 1

= 8y⁵ + 0 + 0 – 3y + 1.

= 8y⁵ – 3y + 1.

b) Ta đặt và thực hiện các phép tính N + M và N – M có

Vậy: N – M = – 9y⁵ + 11y³ + y – 1

N + M = 7y⁵ + 11y³ – 5y + 1.

Bài 51 (trang 46 SGK Toán 7 tập 2)

Cho hai đa thức

P(x) = 3x² – 5 + x⁴ – 3x³ – x⁶ – 2x² – x³

Q(x) = x³ + 2x⁵ – x⁴ + x² – 2x³ + x –1.

a) Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa tăng của biến.

b) Tính P(x) + Q(x) và P(x) – Q(x).

Hướng dẫn giải:

a) P(x) = 3x² – 5 + x⁴ – 3x³ – x⁶ – 2x² – x³

= – x⁶ + x⁴ + (– 3x³ – x³) + (3x² – 2x²) – 5

= – x⁶ + x⁴ – 4x³ + x² – 5.

= – 5+ x² – 4x³ + x⁴ – x⁶

Và Q(x) = x³ + 2x⁵ – x⁴ + x² – 2x³ + x –1

= 2x⁵ – x⁴ + (x³ – 2x³) + x² + x –1

= 2x⁵ – x⁴ – x³ + x² + x –1.

= –1+ x + x² – x³ – x⁴ + 2x⁵

b) Ta đặt và thực hiện phép tính P(x) + Q(x) và P(x) – Q(x) có

Vậy: P(x) + Q(x) = – 6 + x + 2x² – 5x³ + 2x⁵ – x⁶

P(x) – Q(x) = – 4 – x – 3x³ + 2x⁴ – 2x⁵ – x⁶

Bài 52 (trang 46 SGK Toán 7 tập 2)

Tính giá trị của đa thức:

P(x) = x² – 2x – 8 tại x = -1; x = 0 và x = 4.

Hướng dẫn giải:

Thay lần lượt các giá trị x vào đa thức P(x) ta tính được:

• P(–1) = (–1)² – 2(–1) – 8 = 1 + 2 – 8 = –5
• P(0) = 0² – 2.0 – 8 = –8
• P(4) = 4² – 2.4 – 8 = 16 – 8 – 8 = 0

Bài 53 (trang 46 SGK Toán 7 tập 2)

Cho các đa thức:

P(x) = x⁵ – 2x⁴ + x² – x + 1

Q(x) = 6 – 2x + 3x³ + x⁴ – 3x⁵

Tính P(x) – Q(x) và Q(x) – P(x).

Có nhận xét gì về các hệ số của hai đa thức tìm được?

Hướng dẫn giải:

Sắp xếp lại các hạng tử của Q(x) ta có: Q(x) = –3x⁵ + x⁴ + 3x³ – 2x + 6.

Đặt và thực hiện các phép tính P(x) – Q(x) và Q(x) – P(x), ta có:

Nhận xét : Các hệ số tương ứng của P(x) – Q(x) và Q(x) – P(x) đối nhau.

Chú ý: Ta gọi hai đa thức có các hệ số tương ứng đối nhau là đa thức đối nhau.

Bài tập tự luyện cộng trừ đa thức 1 biến

Câu 1: Tìm hai đa thức P(x) và Q(x) sao cho P(x) + Q(x) = x² + 1

A. P(x) = x²; Q(x) = x + 1

B. P(x) = x² + x; Q(x) = x + 1

C. P(x) = x²; Q(x) = -x + 1

D. P(x) = x² – x; Q(x) = x + 1

Câu 2: Cho hai đa thức: A(x) =−x³ − 3x² + 12 và B(x) = −2 − x³ − 3x. Hệ số cao nhất của đa thức N(x) = B(x) − A(x) là:

A. -2

B. 3

C. -3

D. 14

Câu 3: Cho p(x) = 5x⁴ + 4x³ – 3x² + 2x – 1 và q(x) = -x⁴ + 2x³ – 3x² + 4x – 5. Tính p(x) + q(x) rồi tìm bậc của đa thức thu được:

A. p(x) + q(x) = 6x³ – 6x² + 6x – 6 có bậc là 6

B. p(x) + q(x) = 4x⁴ + 6x³ – 6x² + 6x + 6 có bậc là 4

C. p(x) + q(x) = 4x⁴ + 6x³ – 6x² + 6x – 6 có bậc là 4

D. P(x) + q(x) = 4x⁴ + 6x³ + 6x – 6 có bậc là 4

Câu 4: Cho C(x) = 2x⁴ + 3x² − 8 và D(x) = x⁴ − 3x³ − 2. Bậc của đa thức C(x) + D(x) bằng:

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Câu 5: Cho C(y) = 2y⁴ + 3y² − 8 và D(y) = y⁴ − 3y³ − 2. Bậc của đa thức C(y) − 2D(y) là:

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Đáp án bài tập tự luyện cộng trừ đa thức 1 biến

Câu 1: D

Câu 2: C

Câu 3: C

Câu 4: D

Câu 5: A

Kết luận

Bài học hôm nay kết thúc ở đây. Nếu các em còn thắc mắc hay gặp khó khăn trong việc giải bài tập, thì hãy liên hệ ngay cho itoan để được giúp đỡ nhé! itoan chúc các em học thật tốt và đạt được nhiều điểm cao trong học tập! Hẹn các em trong buổi học tiếp theo.

Các em có thể xem thêm các bài học khác dưới đây:

• Giá trị biểu thức đại số – Hướng dẫn giải bài tập SGK Toán 7
• Đơn thức là gì? – Học tốt toán đại số 7 cùng itoan
• Lý thuyết & các dạng bài tập về chia đa thức cho đơn thức
• Nhân đa thức với đa thức – Chinh phục toán 8 cùng itoan