Đa thức một biến – Lý thuyết và Giải bài tập SGK Toán 7

5/5 - (6 bình chọn)

Ở bài trước các em đã được học bài cộng trừ đa thức. Hôm nay, ta sẽ đi tới bài đa thức một biến. Vậy đa thức một biến là gì? Và đa thức một biến nó khác gì so với những bài mình đã học. Cùng iToan tìm hiểu nhé!

Mục tiêu bài học

Trước khi đi vào bài học chính, các em hãy cùng itoan xác định mục tiêu cần đạt được sau buổi học ngày hôm nay nhé!

  • Nắm chắc lý thuyết: đa thức là gì?
  • Nắm chắc và hiểu cách tính đa thức 1 biến.

Lý thuyết

1. Đa thức một biến

  • Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến.
  • Một số được coi là một đơn thức một biến.
  • Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.

Ví dụ: Đa thức 5x5 + 4x3 – 2x2 + x là đa thức một biến (biến x); bậc của đa thức là 5.

2. Sắp xếp một đa thức một biến

Để thuận lợi cho việc tính toán đối với các đa thức một biến, người ta thường sắp xếp các hạng tử của chúng theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.

Ví dụ 1: Đối với đa thức P(x)= 6x + 3 – 6x2 + x3 + 2x4

Khi sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa giảm của biến, ta được: P(x)= 2x4 + x3 – 6x2 + 6x + 3

Khi sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa tăng của biến, ta được: P(x)= 3 + 6x – 6x2 + x3 + 2x4

3. Nhận xét về bậc của đa thức một 

Mọi đa thức bậc 2 của biến x, sau khi đã sắp xếp các hạng tử của chúng theo lũy thừa giảm của biến, đều có dạng: ax2 + bx + c

Trong đó a,b,c là các số cho trước và a ≠ 0.

4. Chú ý:

  • Để sắp xếp các hạng tử của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức một biến .
  • Những chữ đại diện cho các số xác định cho trước được goi là hằng số.

Ví dụ 2: Cho đa thức P(x) = 2 + 5x2 – 3x3 + 4x – 2x – x3 + 6x5. Thu gọn và sắp xếp đa thức

P(x)= 2 + 5x2 – 3x3 + 4x2 – 2x – x3 + 6x5

= 6x5 + (-3x3 – x3) + (5x2 + 4x2) – 2x + 2

= 6x5 – 4x3 + 9x2 – 2x + 2

5. Hệ số

Hệ số của lũy thừa 0 của biến gọi là hệ số tự do.  hệ số của lũy thừa cao nhất của biến gọi là hệ số cao nhất.

Ví dụ: Các hệ số của đa thức 6x5 – x4 + 5x2 – x + 2 lần lượt là 6; -1; 5; -1; 2

Hệ số tự do là: 2

Hệ số cao nhất là: 6

Để hiểu thêm về đa thức một biến, các em hãy dành thời gian xem hết video bài giảng dưới đây. itoan tin rằng việc kết hợp học qua video sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức nhanh chóng và hiệu quả.

Giải bài tập Đa thức một biến Toán 7 trong sách giáo khoa

Bài 39 (trang 43 SGK Toán 7 tập 2):

Cho đa thức: P(x)= 2 + 5x2 – 3x3 + 4x2 – 2x – x3 + 6x5

a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của P(x) theo lũy thừa giảm của biến.

b) Viết các hệ số khác 0 của đa thức P(x).

Bài làm:

a) P(x) = 2 + 5x2 – 3x3 + 4x2 –2x – x3 + 6x5

P(x) = 2 + (5x2+ 4x2) + (– 3x3– x3) – 2x + 6x5

P(x) = 2 + 9x2 – 4x3– 2x + 6x5

Sắp xếp các hạng tử của P(x) theo lũy thừa giảm của biến, ta có

P(x) = 6x5 – 4x3 + 9x2 – 2x + 2

b) Hệ số của lũy thừa bậc 5 là 6

Hệ số của lũy thừa bậc 3 là – 4

Hệ số của lũy thừa bậc 2 là 9

Hệ số của lũy thừa bậc 1 là – 2

Hệ số của lũy thừa bậc 0 là 2

Bài 40 (trang 43 SGK Toán 7 tập 2):

Cho đa thức Q(x)= x2 + 2x4 + 4x3 – 5x6 + 3x2 – 4x – 1

a) Sắp xếp các hạng tử của Q(x) theo lũy thừa giảm của biến.

b) Chỉ ra các hệ số khác 0 của Q(x).

Bài làm:

a) Q(x) = x2 + 2x4 + 4x3 – 5x6 + 3x2 – 4x –1

Q(x) = (x2+ 3x2) + 2x4 + 4x3 – 5x6– 4x –1

Q(x) = 4x2 + 2x4 + 4x3 – 5x6 – 4x –1

Sắp xếp các hạng tử của Q(x) theo lũy thừa giảm của biến, ta có

Q(x)= – 5x6 + 2x4 + 4x3 + 4x2 – 4x –1

b)

  • Hệ số lũy thừa bậc 6 là – 5
  • Hệ số của lũy thừa bậc 4 là 2
  • Hệ số của lũy thừa bậc 3 là 4
  • Hệ số của lũy thừa bậc 2 là 4
  • Hệ số của lũy thừa bậc 1 là –4
  • Hệ số của lũy thừa bậc 0 là –1

Bài 41 (trang 43 SGK Toán 7 tập 2):

Viết một đa thức một biến có hai hạng tử mà hệ số cao nhất là 5, hệ số tự do là -1.

Bài làm:

Ví dụ về đa thức một biến có hai hạng tử mà hệ số cao nhất là 5, hệ số tự do là –1.

Đa thức bậc nhất thỏa mãn các điều kiện trên: 5x – 1

Đa thức bậc hai thỏa mãn các điều kiện trên: 5x2 – 1

Đa thức bậc ba thỏa mãn các điều kiện trên: 5x3 – 1

Đa thức bậc bốn thỏa mãn các điều kiện trên: 5x4 – 1

……………….

Tổng quát: Đa thức bậc n (n là số tự nhiên): 5xn – 1

Bài 42 (trang 43 SGK Toán 7 tập 2):

Tính giá trị của đa thức P(x) = x2 – 6x + 9 tại x = 3 và tại x = -3.

Bài làm:

  • Thay x= 3 vào biểu thức P(x) ta được:

P(3)= 32 – 6.3 + 9= 9 – 18 + 9= 0

Vậy P(3)= 0.

  • Thay x= – 3 vào biểu thức P(x) ta được:

P(– 3)= (– 3)2 – 6.(–3) + 9= 9 + 18 + 9= 36

Vậy P(-3)= 36.

Bài 43 (trang 43 SGK Toán 7 tập 2)

Trong các số cho ở bên phải mỗi đa thức, số nào là bậc của đa thức đó?

a) 5x2 – 2x3 + x4 – 3x2 – 5x5 + 1 –5     5     4
b) 15 – 2x 15     – 2     1
c) 3x5 + x3 – 3x5 + 1 3     5     1
d) –1 1     –1     0

Bài làm:

a) 5x2 – 2x3 + x4 – 3x2 – 5x5 + 1

= (5x2 – 3x2) – 2x3 + x4– 5x5 + 1

= 2x2 – 2x3 + x4– 5x5 + 1

= -5x5 + x4 – 2x3 + 2x2 +1.

⇒ Bậc của đa thức là 5.

b) 15 – 2x= -2x1 +15.

⇒ Bậc của đa thức là 1.

c) 3x5 + x3 – 3x5 +1= (3x5 – 3x5) + x3 +1 = x3 + 1.

⇒ Bậc của đa thức bằng 3.

d) Đa thức -1 có bậc bằng 0

Bài tập tự luyện Đa thức một biến

Câu 1: Sắp xếp 6x3 + 5x4 – 8x6 – 3x2 + 4 theo lũy thừa giảm dần của biến ta được

A. -8x6 + 5x4 + 6x3 – 3x2 + 4

B. -8x6 – 5x4 + 6x3 – 3x2 + 4

C. 8x6 + 5x4 + 6x3 – 3x2 + 4

D. 8x6 + 5x4 + 6x3 + 3x2 + 4

Câu 2: Cho đa thức A= x4 – 4x3 + x – 3x2 + 1. Tính giá trị của A tại x = -2

A. A= -35

B. A= 53

C. A= 33

D. A= 35

Câu 3: Thu gọn đa thức sau và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến ta được đa thức nào?

x73x4+2x3x2x4x+x7x3+5

A. x74x4+x3x2x+5

B. 2x74x4+x3x2x+5

C. 2x74x4x3x2x+5

D. 2x74x4+x3x2x+5

Câu 4:Hệ số cao nhất của đa thức 5x6 + 6x5 + x4 – 3x2 + 7 là:

A. 6

B. 7

C. 4

D. 5

Câu 5: Tổng của 5 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho bao nhiêu?

A. 2

B. 3

C. 5

D. 9

Đáp án bài tập tự luyện

1.A       2.D      3.D     4.D     5.C

Lời kết

Vậy là bài học về đa thức một biến đến đây là kết thúc. Nếu các em còn thắc mắc vấn đề nào, hãy liên hệ với itoan để được giúp đỡ nhé!

Xem thêm: 

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *