Đường thẳng và mặt phẳng – Học tốt toán 11

Bài học này :” Đường thẳng và mặt phẳng ” sẽ giới thiệu cho chúng ta bước đầu về những mối liên hệ có thể có của đường thẳng và mặt phẳng . Bài học sẽ cho ta thấy những khả năng có thể xảy ra trong hình học không gian mà chúng ta sẽ được học trong chương trình toán 11 phần hình học . Cùng đi tìm hiểu với Itoan nhé !

Mục tiêu bài học : Đường thẳng và mặt phẳng 

Sau bài học này , những kiến thức các bạn cần nắm được là :

• Những trường hợp liên hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Những điệu kiện xác định một mặt phẳng không gian
• Hoàn thiện toán bộ bài tập từ cơ bản đến nâng cao

Kiến thức cơ bản của bài : Đường thẳng và mặt phẳng 

Sau đây là tóm tắt toàn bộ bài học , yêu cầu các bạn tập trung và nắm bắt kiến thức trong quá trình học

1. Mở đầu về hình học không gian 

Hình học không gian có các đối tượng cơ bản là điểm, đường thẳng và mặt phẳng.

Quan hệ thuộc: Trong không gian:

a. Với một điểm A và một đường thẳng d có thể xảy ra hai trường hợp:

Điểm A thuộc đường thẳng d, kí hiệu A ∈ d.

Điểm A không thuộc đường thẳng, kí hiệu A ∉ d.

b. Với một điểm A và một mặt phẳng (P) có thể xảy ra hai trường hợp:

Điểm A thuộc mặt thẳng (P), kí hiệu A ∈ (P).

Điểm A không thuộc đường thẳng, kí hiệu A ∉ (P).

2. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian

Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.

Tính chất thừa nhận 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.

Tính chất thừa nhận 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.

Tính chất thừa nhận 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết đã biết của hình học phẳng đều đúng.

Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

3. Điều kiện xác định mặt phẳng

Ta sẽ được học cách để xác định một mặt phẳng như sau : Có bốn cách xác định trong một mặt phẳng:

Cách 1: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng của mặt phẳng, kí hiệu (ABC).

Cách 2: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng d và một điểm A không thuộc d, kí hiệu (A, d).

Cách 3: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng a, b cắt nhau, kí hiệu (a, b).

Cách 4: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng a, b song song, kí hiệu (a, b).

4. Hình chóp và tứ diện

Định nghĩa: Cho đa giác A₁A₂…A_n và cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với các đỉnh A₁, A₂,…, A_n ta được n miền đa giác SA₁A₂, SA₂A₃,…, SA_n-1A_n.

Hình gồm n tam giác đó và đa giác A₁A₂A₃…A_n được gọi là hình chóp S.A₁A₂A₃…A_n.

Trong đó:

Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp.

Đa giác A₁A₂…A_n gọi là mặt đáy của hình chóp.

Các đoạn thẳng A₁A₂, A₂A₃, …, A_n-1A_n gọi là các cạnh đáy của hình chóp.

Các đoạn thẳng SA₁, SA₂,…, SA_n gọi là các cạnh bên của hình chóp.

Các miền tam giác SA₁A₂, SA₂A₃,…,SA_n-1A_n gọi là các mặt bên của hình chóp.

Nếu đáy của hình chóp là một miền tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…

Chú ý

a.Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện.

b. Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều hay có tất cả các cạnh bằng nhau được gọi là hình tứ diện đều.

Hướng dẫn giải bài tập Toán SGK lớp 11 bài học : Đường thẳng và mặt phẳng 

Sau đây để ôn luyện kiến thức cho các bạn , chúng ta sẽ cùng nhau đi giải một số bài tập sau đây trong SGK nhé!

 Bài 1 : Đề bài cho chúng ta những dữ liệu sau đây : Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD. Lấy E và F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB , AC.

a) Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC).

b) Giả sử EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF).

Lời giải:

a) E ∈ AB mà AB ⊂ (ABC)

⇒ E ∈ (ABC)

F ∈ AC mà AC ⊂ (ABC)

⇒ F ∈ (ABC)

Đường thẳng EF có hai điểm E, F cùng thuộc mp(ABC) nên theo tính chất 3 thì EF ⊂ (ABC).

b) I ∈ BC mà BC ⊂ (BCD) nên I ∈ (BCD) (1)

I ∈ EF mà EF ⊂ (DEF) nên I ∈ (DEF) (2)

Từ (1) và (2) suy ra I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF).

Bài 2 :

Đề bài của chúng ta gồm những dữ liệu sau đây :

Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α). Chứng minh M là điểm chung của (α) với bất kì mặt phẳng nào chứa d.

Lời giải:

Giả sử có mặt phẳng (β) bất kì chứa đường thẳng d.

M là điểm chung của d và (α) nên:

M ∈ (α) (1)

và M ∈ d, mà d ⊂ (β) ⇒ M ∈ (β) (2).

Từ (1) và (2) suy ra M là điểm chung của (α) và (β).

Bài 3 : Chúng ta cùng nhau đi làm bài tập sau : Cho ba đường thẳng d₁, d₂, d₃ không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.

Lời giải:

Gọi I = d₁ ∩ d₂; (P) là mặt phẳng chứa (d₁) và (d₂).

Gọi d₃ ∩ d₁ = M; d₃ ∩ d₂ = N.

+ M ∈ d₁, mà d₁ ⊂ (P) ⇒ M ∈ (P)

+ N ∈ d₂, mà d₂ ⊂ (P) ⇒ N ∈ (P).

Nếu M ≠ N ⇒ d₃ có hai điểm M, N cùng thuộc (P)

⇒ d₃ ⊂ (P)

⇒ d₁; d₂; d₃ đồng phẳng (trái với giả thiết).

⇒ M ≡ N

⇒ M ≡ N ≡ I

Vậy d₁; d₂; d₃ đồng quy.

Bài 4 :

Bài tập của chúng ta như sau :  Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi G_A, G_B, G_C, G_D lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ADB, ACB. Chứng minh rằng AG_A, BG_B, CG_C, DG_D đồng qui.

Lời giải:

Gọi N là trung điểm CD.

+ G_A là trọng tâm ΔBCD

⇒ G_A ∈ trung tuyến BN ⊂ (ANB)

⇒ AG_A ⊂ (ANB)

G_B là trọng tâm ΔACD

⇒ G_B ∈ trung tuyến AN ⊂ (ANB)

⇒ BG_B ⊂ (ANB).

Trong (ANB): AG_A không song song với BG_B

⇒ AG_A cắt BG_B tại O

+ Chứng minh tương tự: BG_B cắt CG_C; CG_C cắt AG_A.

+ CG_C không nằm trong (ANB) ⇒ AG_A; BG_B; CG_C không đồng phẳng(áp dụng kết quả bài 3).

⇒ AG_A; BG_B; CG_C đồng quy tại O

+ Chứng minh hoàn toàn tương tự: AG_A; BG_B; DGD đồng quy tại O

Vậy AG_A; BG_B ; CG_C; DGD đồng quy tại O (đpcm).

Bài 5 :

Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (α) có hai cạnh AB và CD không song song với nhau. S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) và M là trung điểm của đoạn SC.

a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB).

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM và BN đồng quy.

Lời giải:

a) + Trong mp(ABCD), AB cắt CD tại E.

E ∈ AB ⊂ (MAB) ⇒ E ∈ (MAB) ⇒ ME ⊂ (MAB)

E ∈ CD ⊂ (SCD) ⇒ E ∈ (SCD)

Mà M ∈ SC ⊂ (SCD)

⇒ ME ⊂ (SCD).

+ Trong mp(SCD), EM cắt SD tại N.

Ta có:

N ∈ SD

N ∈ EM ⊂ mp(MAB)

Vậy N = SD ∩ mp(MAB)

b) Chứng minh SO, MA, BN đồng quy:

+ Trong mặt phẳng (SAC) : SO và AM cắt nhau.

+ trong mp(MAB) : MA và BN cắt nhau

+ trong mp(SBD) : SO và BN cắt nhau.

+ Qua AM và BN xác định được duy nhất (MAB), mà SO không nằm trong mặt phẳng (MAB) nên AM; BN; SO không đồng phẳng.

Vậy SO, MA, BN đồng quy.

Bài 6 : 

Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD.

a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD).

Lời giải:

a) Ta có:

⇒ NP và CD không song song với nhau.

Gọi giao điểm NP và CD là I.

I ∈ NP ⇒ I ∈ (MNP).

Mà I ∈ CD

Vậy I ∈ CD ∩ (MNP)

b) Trong mặt phẳng (ACD) thì AD và MI cắt nhau tại điểm J:

J ∈ AD ⇒ J ∈ (ACD)

J ∈ MI ⇒ J ∈ (MNP)

Vậy J là một điểm chung của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).

Ta đã có M là một điểm chung của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).

Vậy MJ = (ACD) ∩ (MNP).

Bài 7 :

Đề bài cho chúng ta như sau đây :

Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và BC.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD).

b) Gọi M và N là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng AB và AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).

Lời giải:

a) Tìm giao tuyến của mp(IBC) và mp(KAD).

Ta có :

K ∈ BC ⇒ K ∈ (IBC) ⇒ K ∈ (IBC) ∩ (KAD)

I ∈ AD ⇒ I ∈ (KAD) ⇒ I ∈ (IBC) ∩ (KAD)

Vậy KI = (IBC) ∩ (KAD)

b) Trong mp(ABD) gọi BI ∩ DM = P

⇒ P ∈ (IBC) ∩ (DMN)

Trong mặt phẳng (ACD) gọi CI ∩ DN = Q

⇒ Q ∈ (IBC) ∩ (DMN)

Vậy (IBC) ∩ (DMN) = PQ.

Bài 8 :

Sau đây , chúng ta cùng nhau đi phân tích đề bài : Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD.

a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP và đường thẳng BD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (PMN) và (BCD).

b) Tìm giao điểm của hai mặt phẳng (PMN) và BC.

Lời giải:

a) Trong mp(ABD): MP không song song với BD nên MP ∩ BD = E.

E ∈ MP ⇒ E ∈ (PMN)

E ∈ BD ⇒ E ∈ (BCD)

⇒ E ∈ (PMN) ∩ (BCD)

Dễ dàng nhận thấy N ∈ (PMN) ∩ (BCD)

⇒ EN = (PMN) ∩ (BCD)

b) Trong mp(BCD) : gọi giao điểm EN và BC là F.

F ∈ EN, mà EN ⊂ (PMN) ⇒ F ∈ (PMN)

⇒ F = (PMN) ∩ BC.

Bài 9 : 

Đề bài gồm những dữ liệu sau đây : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt BC tại E. Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh SC.

a) Tìm giao điểm M của CD và mp(C’AE).

b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C’AE).

Lời giải:

a) Giao điểm M của CD và mp(C’AE).

Trong mp(ABCD), d cắt CD tại M, ta có:

+ M ∈ CD

+ M ∈ d ⊂ (C’AE) ⇒ M ∈ (C’AE)

Vậy M là giao điểm của CD và mp(C’AE).

b) + Trong mặt phẳng (SCD), gọi giao điểm của MC’ và SD là N.

N ∈ MC’ ⊂ (C’AE) ⇒ N ∈ (C’AE).

N ∈ SD ⊂ (SCD) ⇒ N ∈ (SCD)

⇒ N ∈ (C’AE) ∩ (SCD).

⇒ (C’AE) ∩ (SCD) = C’N.

+ (C’AE) ∩ (SCB) = C’E.

+ (C’AE) ∩ (SAD) = AN.

+ (C’AE) ∩ (ABCD) = AE

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C’AE) là tứ giác C’NAE

Bài 10 : 

Đề bài gồm những dữ liệu sau đây : Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.

a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mp(SBM).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).

c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC).

d) Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM).

Lời giải:

a) SM, CD cùng thuộc (SCD) và không song song.

Gọi N là giao điểm của SM và CD.

⇒ N ∈ CD và N ∈ SM

Mà SM ⊂ (SMB)

⇒ N ∈ (SMB)

⇒ N = (SMB) ∩ CD.

b) N ∈ CD ⊂ (ABCD)

⇒ BN ⊂ (ABCD)

⇒ AC; BN cùng nằm trong (ABCD) và không song song

Gọi giao điểm của AC và BN là H.

+ H ∈ AC ⊂ (SAC)

+ H ∈ BN ⊂ (SBM)

⇒ H ∈ (SAC) ∩ (SBM)

Dễ dàng nhận thấy giao điểm thứ hai của (SAC) và (SBM) là S

⇒ (SAC) ∩ (SBM) = SH.

c) Trong mp(SBM), gọi giao điểm của BM và SH là I, ta có:

I ∈ BM

I ∈ SH ⊂ (SAC).

⇒ I = BM ∩ (SAC).

d) Trong mp(SAC), gọi giao điểm của AI và SC là P.

+ P ∈ AI, mà AI ⊂ (AMB) ⇒ P ∈ (AMB)

⇒ P = (AMB) ∩ SC.

Lại có P ∈ SC, mà SC ⊂ (SCD) ⇒ P ∈ (SCD).

⇒ P ∈ (AMB) ∩ (SCD).

Lại có: M ∈ (SCD) (gt)

⇒ M ∈ (MAB) ∩ (SCD)

Vậy giao điểm của (MAB) và (SCD) là đường thẳng MP.

Lời kết :

Bài học đã giúp các bạn nắm bắt sơ lược về những kiến thức cơ bản của bài học , giúp bạn có cái nhìn tổng quan hơn về chương học này của chúng ta về đường thẳng và mặt phẳng .Itoan mong rằng bài giảng của mình sẽ đáp ứng đủ nhu cầu của bạn về kiến thức cũng như phần thực hành giải bài tập . Các bạn hãy tham khảo và luyện tập thêm . Ngoài ra , các bạn có thể tìm hiểu thêm nhiều bài học mới tại : https://www.toppy.vn/

Chúc các bạn học tốt !

Xem thêm :

• Tổng hợp lý thuyết & bài tập về tập hợp
• Kiến thức các phép toán trên tập hợp
• Số thực