Giới hạn của dãy số – Bài tập & Lời giải Đại số 11

5/5 - (4 bình chọn)

Xin chào các em đã đến với lớp học Toán của iToan! Ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng học bài : Giới hạn của dãy số nhé! Bài giảng dược biên soạn dựa theo chương trình sách giáo khoa, có bổ sung và sửa đổi theo phương pháp dạy học mới, từ lý thuyết đến thực hành, giúp các em nắm bài tốt hơn và thấy môn Toán không còn khó nhằn như tưởng tượng!

Lý thuyết cần nắm: Giới hạn của dãy số

Giới hạn hữu hạn của dãy số

Bài toán 1: Cho dãy số (un) với un=1n.Viết dạng khai triển của dãy số và biểu diễn hình học dãy số trên trục số ?

a) Nhận xét xem khoảng cách từ (un) tới 0 thay đổi thế nào khi n  trở nên rất lớn?

b) Bắt đầu từ số hạng (un) nào của dãy số thì khoảng cách từ (un) đến 0 nhỏ hơn 0,01?  0,001?

Giải

Biểu diễn un dưới dạng khai triển 1/2,1/3,1/4,1/5,,1/100

Kết quả biểu diễn un=1/n trên trục số

Giới hạn dãy số

Dựa vào kết quả biểu diễn un=1/n trên trục số ta thấy:

a) Khoảng cách từ (un) tới 0 càng nhỏ khi  n  càng lớn.

b) Từ số hạng thứ 101  trở đi thì khoảng cách từ (un)đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Từ số hạng thứ 1001 trở đi thì khoảng cách từ (un) đến 0 nhỏ hơn 0,001.

Từ đó ta thấy |un|=1/n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, ta nói dãy số (un) với un=1/n có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực.

a. Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Ký hiệu:

d

hay un0 khi n (Dãy số un có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cùng).

Ví dụ: Xét dãy số (un) với un=(1)^n/ n^2. Kể từ số hạng thứ n0 trở đi thì ta có |un|<1/100.

a) Tìm  n0?

b) Kết luận về giới hạn của dãy số (un)?

Giải

a) Vì kể từ số hạng thứ n0 trở đi thì |un|<1/100, nên

Giới hạn hàm số

b) Theo phần a) ta thấy, kể từ số hạng thứ 11 trở đi |un|<1100, nên theo định nghĩa ta có

d

b. Định nghĩa 2

Giới hạn hàm số

Giới hạn hàm số

Định lý về giới hạn hữu hạn

Định lý 1:

a) Nếu limun=a và limvn=b thì

lim(un+vn)=a+b

lim(unvn)=ab

lim(un.vn)=ab

lim (un/vn)=a/b(b0)

b) Nếu un0 với mọi n và lim un=a thì a0 và lim√un=√a

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q với |q|<1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Ví dụ: Cấp số nhân có công bội q=1/2;u1=1/2 có năm số hạng đầu tiên u1=1/2;u2=1/4,u3=1/8,u4=1/16,u5=1/32, là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q. Kí hiệu:  S=u1+u2+u3++un+

giới hạn dãy số

Giới hạn vô cực

Ta nói dãy số (un) có giới hạn +  nếu (un) có thể lớn hơn một số dương bất kì,kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: limun=+ hay un+ khi n+

Dãy số (un) được gọi là có giới hạn   khi n+ nếu lim(un)=+

Kí hiệu: limun=  hay un khi n+

Chú ý: limun=+lim(un)=

Ví dụ: Cho dãy số (un) với un=n2.

Biểu diễn của (un) trên trục số như sau:

Giới hạn dãy số

Theo biểu diễn hình học này ta thấy rằng un>10000 kể từ số hạng 101 trở đi. un>10^20 kể từ số hạng 10^10+1 trở đi. Điều đó có nghĩa là un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó limun=+.

limnk=+ với k nguyên dương;

limqn=+  nếu q>1.

Định lí 2: 

a) Nếu limun=a0 và limvn=± thì limunv0=0.

b) Nếu limun=a>0,limvn=0 và vn>0 với mọi n thì limunvv=+

c) Nếu limun=+ và limvn=a>0 thì lim(un.vn)=+

Giải bài tập SGK Đại số 11 Giới hạn của dãy số

Bài 1 (trang 121 SGK Đại số 11): 

Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người(T được gọi chu kỳ bán rã).

a. Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un)

b. Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0.

c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với khỏe con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10-6 g.

Lời giải:

a. Sau 1 chu kì bán rã: Giải bài 1 trang 121 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Sau 2 chu kì bán rã: Giải bài 1 trang 121 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Sau 3 chu kì bán rã: Giải bài 1 trang 121 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Tổng quát : Sau n chu kì bán rã : Giải bài 1 trang 121 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 1 trang 121 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

c. Chất phóng xạ không còn độc hại nữa khi khối lượng chất phóng xạ còn lại < 10-6 g = 10-9 kg

Giải bài 1 trang 121 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy sau 30 chu kì = 30.24000 = 720 000 năm thì 1kg chất phóng xạ này không còn độc hại nữa.

Bài 2 (trang 121 SGK Đại số 11): 

Biết dãy số (un) thỏa mãn Giải bài 2 trang 121 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11 với mọi n. Chứng minh rằng: lim un = 1.

Lời giải:

Đặt v= un – 1.

Lấy số dương d > 0 bé tùy ý

⇒ luôn tồn tại Giải bài 2 trang 121 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11 thỏa mãn Giải bài 2 trang 121 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

⇒ Giải bài 2 trang 121 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11 với mọi n ≥ n0.

⇒ Theo định nghĩa ta có:

Giải bài 2 trang 121 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 3 (trang 121 SGK Đại số 11): 

Tìm các giới hạn sau:

Giải bài 3 trang 121 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 3 trang 121 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 3 trang 121 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 3 trang 121 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 3 trang 121 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 4 (trang 122 SGK Đại số 11): 

Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột mickey quyết định tô màu một miếng bài hình vuông cạnh bằng 1, nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3,…, n,…, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. (hình dưới). Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn.

giới hạn dãy số

a. Gọi un là diện tích hình vuông màu xám thứ n. Tính u1, u2, u3 và un

b. Tính lim Sn với Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un

Lời giải:

a.Gọi độ dài cạnh hình vuông là a thì diện tích hình vuông là: S = a2

Cạnh hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó

⇒ Diện tích hình vuông kế tiếp bằng một phần tư diện tích hình vuông trước đó.

Hình vuông đầu tiên có độ dài cạnh là Giải bài 4 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11 ( là hình vuông nhỏ được đánh số 1) nên có diện tích là:Giải bài 4 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Từ đó , ta có:

Giải bài 4 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11         Giải bài 4 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11 (Tổng của n số hạng đầu của CSN)

Giải bài 4 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 5 (trang 122 SGK Đại số 11):

Tính tổng:

Bài 5 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11Lời giải:

Dãy Bài 5 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11 là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = -1 và công bội Bài 5 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Tổng của cấp số nhân đó là Bài 5 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 6 (trang 122 SGK Đại số 11): 

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202…(chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số:

Lời giải:

Ta có: a= 1,02020202… ( chu kì 2)

= 1 + 0,02+ 0,0002+ 0,000002 + …..

Bài 5 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là

Bài 5 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 7 (trang 122 SGK Đại số 11): 

Tính các giới hạn sau:

Giải bài 7 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 7 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 7 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 7 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 7 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 8 (trang 122 SGK Đại số 11): 

Cho hai dãy số (un) và (vn). Biết lim un = 3, lim vn = + ∞. Tính các giới hạn:

Giải bài 8 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:Giải bài 8 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11 Giải bài 8 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời kết

Vậy là bài giảng: Giới hạn của dãy số đã kết thúc tại đây. Các em hãy chăm chỉ ôn luyện, nghe bài giảng của thầy cô giáo trên Toppy và làm thêm thật nhiều bài tập trắc nghiệm do Toppy biên soạn. Hãy để hành trình học của các em trở nên thú vị và hiệu quả cùng Toppy!

>> Xem thêm: 

Minh Phương

Là 1 giáo viên Toán tôi luôn nỗ lực không ngừng để mang đến cho học sinh những bài học sinh động, lý thú, giúp các em vững vàng kiến thức và say mê, yêu thích môn Toán hơn.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *