Hệ thức vi ét và ứng dụng – Chinh phục toán học cùng Itoan
Trong chương trình Toán học lớp 9, hệ thức vi ét và ứng dụng là kiến thức quan trọng để áp dụng trong hầu hết các dạng bài tập. Để ôn tập các kiến thức về hệ thức vi ét lớp 9 này và ứng dụng của nó. Hãy cùng itoan theo dõi bài giảng chi tiết ngay sau đây.
I. Lý thuyết về hệ thức vi ét và ứng dụng
1. Hệ thức vi ét:
Xét phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (Trong đó a ≠0), nếu x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình, dù nghiệm đó là nghiệm kép hay hai nghiệm phân biệt đều có thể viết được dưới dạng sau:
- x₁ =
và x₂ = 
Khi đó nếu x₁ và x₂ là 2 nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (Trong đó a ≠0), ta có hệ phương trình sau:
- x1 + x2 =
và x1 . x2 = 
Với lý thuyết trên có thể thấy hệ thức vi ét là kiến thức nền tảng rất quan trọng để có thể giải được tất cả các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao trong chương trình Toán học lớp 9 và các lớp khác.
2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng
a. Tính nhẩm nghiệm:
Ứng dụng định lý vi ét tính nhẩm nghiệm như sau:
- Cho phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (Trong đó a ≠0) với a + b + c = 0 thì ta có một nghiệm của phương trình này là x₁ = 1 và một nghiệm còn lại là x₂ =
- Cho phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (Trong đó a ≠0) với a – b + c = 0 thì ta có một nghiệm của phương trình này là x₁ = -1 và một nghiệm còn lại là x₂ =
b. Tìm 2 số khi biết tích và tổng:
Ứng dụng định lý vi ét cho bài toán tìm 2 số khi biết tích và tổng như sau:
- Nếu 2 số có tổng là S và tích là P thì 2 số đó sẽ là 2 nghiệm của phương trình một ẩn sau: x² – Sx + P = 0
- Điều kiện để hai số này tồn tại là S² – 4P ≥ 0
Bài giảng trên đây là toàn bộ những kiến thức cơ bản về công thức vi ét, hệ thức vi ét và áp dụng bài tập chi tiết nhất. Để củng cố lại toàn bộ kiến thức về nội dung quan trọng này, dưới đây là sơ đồ tư duy về hệ thức.
II. Các dạng bài tập về hệ thức vi ét và ứng dụng:
Trong chương trình Toán học lớp 9, hệ thức vi ét là kiến thức nền tảng để có thể giải được những bài toán cơ bản và khó, đặc biệt là theo sát với chương trình Toán học về sau. Chính vì vậy để nắm vững kiến thức về hệ thức vi ét, các công thức vi ét, dưới đây là những dạng bài tập liên quan thường gặp giúp các bạn học sinh ôn luyện được hiệu quả.
Bài tập 1 (Bài 25/SGK trang 53 Toán 9 Tập 2).
Đối với những phương trình sau, cho x₁, x₂ lần lượt là hai nghiệm của những phương trình đã cho (nếu có). Không thực hiện giải phương trình và hãy điền đáp án của Δ, x₁ + x₂, x₁ . x₂
- Câu a: 2x² – 17x + 1 = 0
- Câu b: 5x² – x – 35 = 0
- Câu c: 8x² – x + 1 = 0
- Câu d: 25x² + 10x + 1 = 0
Bài tập 2: (Bài 25/SGK trang 53 Toán 9 Tập 2).
Áp dụng điều kiện của hệ thức vi ét a + b + c = 0 hay a – b + c = 0 và tính nhẩm nghiệm của những phương trình bậc hai sau:
- Câu a: 35x² – 37x + 2 = 0
- Câu b: 7x² + 500x – 507 = 0
- Câu c: x² – 49x – 50 = 0
- Câu d: 4321x² + 21x – 4300 = 0
Bài tập 3: (Bài 26/SGK trang 53 Toán 9 Tập 2).
Áp dụng hệ thức vi ét để tính nhẩm những nghiệm của các phương trình bậc hai sau:
- Câu a: x² – 7x + 12 = 0
- Câu b: x² + 7x + 12 = 0
Bài tập 4: (Bài 27/SGK trang 54 Toán 9 Tập 2).
Cho các phương trình bậc hai một ẩn, không giải phương trình, hãy áp dụng hệ thức vi ét để tính tổng và tích của các nghiệm nếu có của phương trình:
- Câu a: 4x² + 2x – 5 = 0
- Câu b: 9x² – 12x + 4 = 0
- Câu c: 5x² + x + 2 = 0
- Câu d: 159x² – 2x – 1 = 0
Bài tập 5: (Bài 30/SGK trang 54 Toán 9 Tập 2).
Áp dụng hệ thức vi ét, để các phương trình sau có nghiệm, tìm giá trị của m và tính giá trị của tổng, tích theo m.
- Câu a: x² – 2x + m = 0
- Câu b: x² + 2(m – 1)x + m² = 0
Bài giảng trên đã cung cấp cho các bạn về hệ thức vi ét và ứng dụng, đặc biệt là công thức vi ét cũng như các dạng toán thường gặp. Hy vọng đây sẽ là những kiến thức bổ ích dành cho các bạn học sinh, đặc biệt là quý phụ huynh có nhu cầu ôn tập và giảng dạy cho các em. Trong quá trình học tập và ôn luyện, nếu có nhu cầu tìm kiếm đơn vị học tập uy tín, chất lượng hoặc muốn được giải đáp về những kiến thức liên quan đến môn học, hãy liên hệ với Itoan để được giải đáp nhanh nhất có thể
