Hệ tọa độ trong không gian – Học tốt hình học 12

5/5 - (4 bình chọn)

Trong chương trình Toán lớp 10, các em đã được học về tọa độ trong một mặt phẳng, tọa độ Oxy. Ở chương trình Hình học 12, phần kiến thức này sẽ được mở rộng và nâng cao thêm thành: Hệ tọa độ trong không gian, Oxyz. Với phần lý thuyết, bài tập và hướng dẫn giải bài tập SGK  chi tiết, iToan hy vọng sẽ giúp các em nắm vững được khái niệm, tính chất, làm được các bài tập ứng dụng trong phần hệ trục tọa độ không gian.

Mục tiêu bài giảng

Bài giảng bao gồm các phần kiến thức sau đây:

  • Điểm, đường thẳng, vecto, mặt phẳng trong tọa độ không gian
  • Các ví dụ minh họa
  • Hướng dẫn giải bài tập SGK
  • Bài tập tự luyện

Lý thuyết cần nắm Hệ tọa độ trong không gian

Các em cần nắm vững kiến thức cơ bản trước khi bắt đầu làm bài tập!

Hệ tọa độ trong không gian

1.Tọa độ của điểm và của Vecto

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i→j→k→ là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

Chú ý: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

2. Tọa độ của vectơ

a) Định nghĩa: u→ = (x; y; z) ⇔ k→ = xi→ + yj→ + zk→

b) Tính chất: Cho a→ = (a1; a2; a3), b→ = (b1; b2; b3), k ∈ R

• a→ ± b→ = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3; )

• ka→ = (ka1; ka2; ka3)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

• 0→ = (0; 0; 0), i→ = (1; 0; 0), j→ = (0; 1; 0), k→ = (0; 0; 1)

• a→ cùng phương b→ (b→ ≠ 0→) ⇔ a→ = kb→ (k ∈ R)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

• a→.b→ = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3

• a→ ⊥ b→ ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

3. Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa: M(x; y; z) ⇔ OM→ = x.i→ + y.j→ + z.k→ (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

Chú ý: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0

• M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 .

b) Tính chất: Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB)

• AB→ = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

• Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

4. Tích có hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a→ = (a1; a2; a3), b→ = (b1; b2; b3). Tích có hướng của hai vectơ a→ và b→ kí hiệu là [a→b→], được xác định bởi

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

b) Tính chất:

• [a→b→] ⊥ a→; [a→b→] ⊥ b→

• [a→b→] = -[b→a→]

• [i→j→] = k→; [j→k→] = i→; [k→i→] = j→

• |[a→b→]| = |a→|.|b→|.sin(a→b→) (Chương trình nâng cao)

• a→b→ cùng phương ⇔ [a→b→] = 0→ (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)

• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a→b→ và c→ đồng phẳng ⇔ [a→b→].c→ = 0

• Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = |[AB→], AD→|

• Diện tích tam giác ABC: SABC = 1/2 |[AB→], AC→|

• Thể tích khối hộp ABCDA’B’C’D’ : VABCD.A’B’C’D’ = |[AB→AD→].AA’→|

• Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = 1/6 |[AB→AC→].AD→|

Giải bài tập SGK Hệ tọa độ không gian

Tổng hợp bài tập & lời giải SGK  do iToan biên soạn chi tiết và chính xác, gúp em học tập dễ dàng hơn!

Bài 1

Cho ba vectơ: a→ = (2; -5; 3), b→ = (0; 2; -1), c→ = (1; 7; 2)

a) Tính tọa độ của vectơ d→ = 4a→ – 1/3 b→ + 3c→

b) Tính tọa độ của vectơ e→ = a→ – 4b→ – 2c→

Lời giải:

a) Ta có: 4a→ = (8; -20; 12)

-1/3 b→ = (0; -2/3 ; 1/3)

3c→ = (3; 21; 6)

Vậy d→ = 4a→ – 1/3 b→ + 3c→ = (11; 1/3; 55/3)

b) Ta có: -4b→ = (0; -8; 4)

-2c→ = (-2; -14; -4)

Vậy e→ = a→ – 4b→ – 2c→ = (0; -27; 3)

Bài 2 

Cho ba điểm A(1; -1; 1), B(0; 1; 2), C(1;0;1). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Lời giải:

Giải bài 2 trang 68 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 3

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Lời giải:

Giải bài 3 trang 68 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 3 trang 68 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 4: Tính:

Giải bài 4 trang 68 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Lời giải:

Giải bài 4 trang 68 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 5

Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau đây:

a)x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 1 = 0

b)3x2 + 3y2 + 3z2– 6x + 8y + 15z – 3 = 0

Lời giải:

Giải bài 5 trang 68 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 6 

Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:

a)Có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)

b)Đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)

Lời giải:

Giải bài 6 trang 68 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 6 trang 68 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Lời kết

Kiến thức về hệ tọa đồ trong không gian đươc ứng dụng nhiều trong các bài thi quan trọng. Để ôn tập về bài giảng này cũng như các bài giảng khác trong chương trình lớp 12, các em có thể truy cập vào web Toppy .Toppy là nền tảng học trực tuyến với các thầy cô chất lượng và lộ trình học rõ ràng, cam kết sẽ giúp em tiến bộ và tự tin hơn trong học tập.

>> Xem thêm:

Minh Phương

Là 1 giáo viên Toán tôi luôn nỗ lực không ngừng để mang đến cho học sinh những bài học sinh động, lý thú, giúp các em vững vàng kiến thức và say mê, yêu thích môn Toán hơn.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *