Khối đa diện lồi và khối đa diện đều – Bài tập & Lời giải Toán 12

5/5 - (4 bình chọn)

Mở đầu chương trình Hình học 12, các em đã được học về định nghĩa, các tính chất cơ bản của khối đa diện. Bài học hôm nay, các thầy cô iToan sẽ đem đến cho các em kiến thức về hai loại khối đa diện: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều. Bài học sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức lý thuyết và thành thạo trong việc giải bài tập SGK cũng như bài tập tự luyện.

Lý thuyết cần nắm về Khối đa diện

Khối đa diện lồi

Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của  (H) luôn thuộc (H) . Khi đó đa diện xác định (H)  được gọi là đa diện lồi.

Ví dụ: Các khối lăng trụ tam giác , khối hộp, khối tứ diện là những khối đa diện lồi.

Khối đa diện lồi- Khối đa diện đều

Khối đa diện đều

1. Định nghĩa

Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:

• Các mặt là những đa giác đều p  cạnh

• Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q  mặt

 Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {p,q}.

2. Định lí

Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là loại {3,3} , loại {4,3}  , loại {3,4}  , loại {5,3}   và loại  {3,5} .

Bảng tóm tắt của năm loại khối tứ đa diện đều

Mở đầu chương trình Hình học 12, các em đã được học về định nghĩa, các tính chất cơ bản của khối đa diện. Bài học hôm nay, các thầy cô iToan sẽ đem đến cho các em kiến thức về hai loại khối đa diện: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều. Bài học sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức lý thuyết và thành thạo trong việc giải bài tập SGK cũng như bài tập tự luyện. Lý thuyết cần nắm về Khối đa diện Khối đa diện lồi Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của  (H) luôn thuộc (H) . Khi đó đa diện xác định (H)  được gọi là đa diện lồi. Ví dụ: Các khối lăng trụ tam giác , khối hộp, khối tứ diện là những khối đa diện lồi. Khối đa diện đều 1. Định nghĩa Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: • Các mặt là những đa giác đều p  cạnh • Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q  mặt ⇒ Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {p,q}. 2. Định lí Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là loại {3,3} , loại {4,3}  , loại {3,4}  , loại {5,3}   và loại  {3,5} . Bảng tóm tắt của năm loại khối tứ đa diện đều Giải bài tập SGK Toán 12 trang 18 Khối đa diện lồi khối đa diện đều Bài 1 (trang 18 SGK Hình học 12):  Cắt bìa theo mẫu dưới đây (h.123), gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều. Lời giải: Bài 2 (trang 18 SGK Hình học 12):  Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’). Lời giải: Gọi a là cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (hình (H)). Suy ra diện tích toàn phần của hình lập phương (H) là: SH = 6.a2 (đvdt). Gọi tâm các mặt của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ lần lượt là E, F, M, N, P, Q như hình vẽ. Suy ra (H’) là bát diện đều EMNPQF. + Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AA’D ⇒ A’D = a√2 + EM là đường trung bình của ΔBA’D ⇒ (H’) là bát diện đều gồm 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng  ⇒ Diện tích một mặt của (H’) là: ⇒ Diện tích toàn phần của (H’) là: Vậy tỉ số diện tích cần tính là: Bài 3 (trang 18 SGK Hình học 12):  Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một tứ diện đều. Lời giải: Xét tứ diện đều A.BCD cạnh bằng a. Gọi G1, G2, G3 và G4 lần lượt là tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Xét tam giác AMD có: Tương tự ta có: G1G2 =G2G3 = G3G4 = G1G3 = G1G4 = G2G4 =  Tâm các mặt của tứ diện đều ABCD tạo thành tứ diện G1G2G3G4 có độ dài mỗi cạnh là  Vậy tứ diện G1G2G3G4 là tứ diện đều. Bài 4 (trang 18 SGK Hình học 12):  Chứng minh rằng AB’CD’ là một tứ diện đều. Tính các cạnh của nó theo a. Lời giải: Giả sử bát diện đều ABCDEF có cạnh bằng a. a) B, C, D, E cách đều A và F suy ra B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF Trong mp (BCDE), ta có BC = CD = DE = EB (= a) ⇒ BCDE là hình thoi ⇒ BD ⊥ EC và BD, EC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Chứng minh tương tự ta suy ra AF và BD, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. b) Gọi trung điểm BD, CE, AF là O. Mà AB = AE (= a) ⇒ BO = OE ⇒ BD = EC ⇒ Hình thoi BCDE là hình vuông. Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông. Chú ý : Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông Bài tập tự luyện về Khối đa diện Làm thêm nhiều các bài tập tự luyện giúp các em rèn luyện tư duy giải nhanh và chính xác trắc nghiệm! Phần câu hỏi Câu 1: Cho các mệnh đề sau: I. Số cạnh của một khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 6. II. Số mặt của khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 5. III. Số đỉnh của khối đa diện lồi luôn lớn hơn 4. Trong các mệnh đề trên, những mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Chỉ I B. Chỉ II C. I và II D. II và III Câu 2: Có tất cả bao nhiêu khối đa diện đều? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Câu 3: Biết (H) là đa diện đều loại {3;5} với số đỉnh và số cạnh lần lượt là a và b. Tính a−b . A. a−b=18 B. a−b=−8 C. a−b=−18 D. a−b=10 Câu 4: Số hình đa diện lồi trong các hình dưới đây là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 5: Khối hai mươi mặt đều thuộc loại nào sau đây? A. {3;4} B. {4;3} C. {3;5} D. {5;3} Phần đáp án 1.C       2.B       3.C      4.B       5.C Lời kết Các em đã phân biệt và ghi nhớ được các tính chất của khối đa diện lồi, khối đa diện đều chưa nhỉ? Để làm thêm nhiều bài tập trắc nghiệm, ôn tập cho kì thi THPT Quốc gia, em có thể tìm kiếm trên nền tảng Toppy. Toppy với hàng trăm bài giảng chi tiết theo từng chủ đề, và hàng ngàn bài tập, đề thi giúp em ôn tập. >> Xem thêm: Tứ giác là gì? Những hình tứ giác phổ biến Tính chất hình chóp đều Khối đa diện

Mở đầu chương trình Hình học 12, các em đã được học về định nghĩa, các tính chất cơ bản của khối đa diện. Bài học hôm nay, các thầy cô iToan sẽ đem đến cho các em kiến thức về hai loại khối đa diện: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều. Bài học sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức lý thuyết và thành thạo trong việc giải bài tập SGK cũng như bài tập tự luyện. Lý thuyết cần nắm về Khối đa diện Khối đa diện lồi Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của  (H) luôn thuộc (H) . Khi đó đa diện xác định (H)  được gọi là đa diện lồi. Ví dụ: Các khối lăng trụ tam giác , khối hộp, khối tứ diện là những khối đa diện lồi. Khối đa diện đều 1. Định nghĩa Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: • Các mặt là những đa giác đều p  cạnh • Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q  mặt ⇒ Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {p,q}. 2. Định lí Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là loại {3,3} , loại {4,3}  , loại {3,4}  , loại {5,3}   và loại  {3,5} . Bảng tóm tắt của năm loại khối tứ đa diện đều Giải bài tập SGK Toán 12 trang 18 Khối đa diện lồi khối đa diện đều Bài 1 (trang 18 SGK Hình học 12):  Cắt bìa theo mẫu dưới đây (h.123), gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều. Lời giải: Bài 2 (trang 18 SGK Hình học 12):  Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’). Lời giải: Gọi a là cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (hình (H)). Suy ra diện tích toàn phần của hình lập phương (H) là: SH = 6.a2 (đvdt). Gọi tâm các mặt của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ lần lượt là E, F, M, N, P, Q như hình vẽ. Suy ra (H’) là bát diện đều EMNPQF. + Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AA’D ⇒ A’D = a√2 + EM là đường trung bình của ΔBA’D ⇒ (H’) là bát diện đều gồm 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng  ⇒ Diện tích một mặt của (H’) là: ⇒ Diện tích toàn phần của (H’) là: Vậy tỉ số diện tích cần tính là: Bài 3 (trang 18 SGK Hình học 12):  Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một tứ diện đều. Lời giải: Xét tứ diện đều A.BCD cạnh bằng a. Gọi G1, G2, G3 và G4 lần lượt là tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Xét tam giác AMD có: Tương tự ta có: G1G2 =G2G3 = G3G4 = G1G3 = G1G4 = G2G4 =  Tâm các mặt của tứ diện đều ABCD tạo thành tứ diện G1G2G3G4 có độ dài mỗi cạnh là  Vậy tứ diện G1G2G3G4 là tứ diện đều. Bài 4 (trang 18 SGK Hình học 12):  Chứng minh rằng AB’CD’ là một tứ diện đều. Tính các cạnh của nó theo a. Lời giải: Giả sử bát diện đều ABCDEF có cạnh bằng a. a) B, C, D, E cách đều A và F suy ra B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF Trong mp (BCDE), ta có BC = CD = DE = EB (= a) ⇒ BCDE là hình thoi ⇒ BD ⊥ EC và BD, EC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Chứng minh tương tự ta suy ra AF và BD, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. b) Gọi trung điểm BD, CE, AF là O. Mà AB = AE (= a) ⇒ BO = OE ⇒ BD = EC ⇒ Hình thoi BCDE là hình vuông. Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông. Chú ý : Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông Bài tập tự luyện về Khối đa diện Làm thêm nhiều các bài tập tự luyện giúp các em rèn luyện tư duy giải nhanh và chính xác trắc nghiệm! Phần câu hỏi Câu 1: Cho các mệnh đề sau: I. Số cạnh của một khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 6. II. Số mặt của khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 5. III. Số đỉnh của khối đa diện lồi luôn lớn hơn 4. Trong các mệnh đề trên, những mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Chỉ I B. Chỉ II C. I và II D. II và III Câu 2: Có tất cả bao nhiêu khối đa diện đều? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Câu 3: Biết (H) là đa diện đều loại {3;5} với số đỉnh và số cạnh lần lượt là a và b. Tính a−b . A. a−b=18 B. a−b=−8 C. a−b=−18 D. a−b=10 Câu 4: Số hình đa diện lồi trong các hình dưới đây là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 5: Khối hai mươi mặt đều thuộc loại nào sau đây? A. {3;4} B. {4;3} C. {3;5} D. {5;3} Phần đáp án 1.C       2.B       3.C      4.B       5.C Lời kết Các em đã phân biệt và ghi nhớ được các tính chất của khối đa diện lồi, khối đa diện đều chưa nhỉ? Để làm thêm nhiều bài tập trắc nghiệm, ôn tập cho kì thi THPT Quốc gia, em có thể tìm kiếm trên nền tảng Toppy. Toppy với hàng trăm bài giảng chi tiết theo từng chủ đề, và hàng ngàn bài tập, đề thi giúp em ôn tập. >> Xem thêm: Tứ giác là gì? Những hình tứ giác phổ biến Tính chất hình chóp đều Khối đa diện

Mở đầu chương trình Hình học 12, các em đã được học về định nghĩa, các tính chất cơ bản của khối đa diện. Bài học hôm nay, các thầy cô iToan sẽ đem đến cho các em kiến thức về hai loại khối đa diện: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều. Bài học sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức lý thuyết và thành thạo trong việc giải bài tập SGK cũng như bài tập tự luyện. Lý thuyết cần nắm về Khối đa diện Khối đa diện lồi Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của  (H) luôn thuộc (H) . Khi đó đa diện xác định (H)  được gọi là đa diện lồi. Ví dụ: Các khối lăng trụ tam giác , khối hộp, khối tứ diện là những khối đa diện lồi. Khối đa diện đều 1. Định nghĩa Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: • Các mặt là những đa giác đều p  cạnh • Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q  mặt ⇒ Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {p,q}. 2. Định lí Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là loại {3,3} , loại {4,3}  , loại {3,4}  , loại {5,3}   và loại  {3,5} . Bảng tóm tắt của năm loại khối tứ đa diện đều Giải bài tập SGK Toán 12 trang 18 Khối đa diện lồi khối đa diện đều Bài 1 (trang 18 SGK Hình học 12):  Cắt bìa theo mẫu dưới đây (h.123), gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều. Lời giải: Bài 2 (trang 18 SGK Hình học 12):  Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’). Lời giải: Gọi a là cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (hình (H)). Suy ra diện tích toàn phần của hình lập phương (H) là: SH = 6.a2 (đvdt). Gọi tâm các mặt của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ lần lượt là E, F, M, N, P, Q như hình vẽ. Suy ra (H’) là bát diện đều EMNPQF. + Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AA’D ⇒ A’D = a√2 + EM là đường trung bình của ΔBA’D ⇒ (H’) là bát diện đều gồm 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng  ⇒ Diện tích một mặt của (H’) là: ⇒ Diện tích toàn phần của (H’) là: Vậy tỉ số diện tích cần tính là: Bài 3 (trang 18 SGK Hình học 12):  Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một tứ diện đều. Lời giải: Xét tứ diện đều A.BCD cạnh bằng a. Gọi G1, G2, G3 và G4 lần lượt là tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Xét tam giác AMD có: Tương tự ta có: G1G2 =G2G3 = G3G4 = G1G3 = G1G4 = G2G4 =  Tâm các mặt của tứ diện đều ABCD tạo thành tứ diện G1G2G3G4 có độ dài mỗi cạnh là  Vậy tứ diện G1G2G3G4 là tứ diện đều. Bài 4 (trang 18 SGK Hình học 12):  Chứng minh rằng AB’CD’ là một tứ diện đều. Tính các cạnh của nó theo a. Lời giải: Giả sử bát diện đều ABCDEF có cạnh bằng a. a) B, C, D, E cách đều A và F suy ra B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF Trong mp (BCDE), ta có BC = CD = DE = EB (= a) ⇒ BCDE là hình thoi ⇒ BD ⊥ EC và BD, EC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Chứng minh tương tự ta suy ra AF và BD, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. b) Gọi trung điểm BD, CE, AF là O. Mà AB = AE (= a) ⇒ BO = OE ⇒ BD = EC ⇒ Hình thoi BCDE là hình vuông. Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông. Chú ý : Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông Bài tập tự luyện về Khối đa diện Làm thêm nhiều các bài tập tự luyện giúp các em rèn luyện tư duy giải nhanh và chính xác trắc nghiệm! Phần câu hỏi Câu 1: Cho các mệnh đề sau: I. Số cạnh của một khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 6. II. Số mặt của khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 5. III. Số đỉnh của khối đa diện lồi luôn lớn hơn 4. Trong các mệnh đề trên, những mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Chỉ I B. Chỉ II C. I và II D. II và III Câu 2: Có tất cả bao nhiêu khối đa diện đều? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Câu 3: Biết (H) là đa diện đều loại {3;5} với số đỉnh và số cạnh lần lượt là a và b. Tính a−b . A. a−b=18 B. a−b=−8 C. a−b=−18 D. a−b=10 Câu 4: Số hình đa diện lồi trong các hình dưới đây là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 5: Khối hai mươi mặt đều thuộc loại nào sau đây? A. {3;4} B. {4;3} C. {3;5} D. {5;3} Phần đáp án 1.C       2.B       3.C      4.B       5.C Lời kết Các em đã phân biệt và ghi nhớ được các tính chất của khối đa diện lồi, khối đa diện đều chưa nhỉ? Để làm thêm nhiều bài tập trắc nghiệm, ôn tập cho kì thi THPT Quốc gia, em có thể tìm kiếm trên nền tảng Toppy. Toppy với hàng trăm bài giảng chi tiết theo từng chủ đề, và hàng ngàn bài tập, đề thi giúp em ôn tập. >> Xem thêm: Tứ giác là gì? Những hình tứ giác phổ biến Tính chất hình chóp đều Khối đa diện

Giải bài tập SGK Toán 12 trang 18 Khối đa diện lồi khối đa diện đều

Bài 1 (trang 18 SGK Hình học 12): 

Cắt bìa theo mẫu dưới đây (h.123), gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều.

Mở đầu chương trình Hình học 12, các em đã được học về định nghĩa, các tính chất cơ bản của khối đa diện. Bài học hôm nay, các thầy cô iToan sẽ đem đến cho các em kiến thức về hai loại khối đa diện: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều. Bài học sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức lý thuyết và thành thạo trong việc giải bài tập SGK cũng như bài tập tự luyện. Lý thuyết cần nắm về Khối đa diện Khối đa diện lồi Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của  (H) luôn thuộc (H) . Khi đó đa diện xác định (H)  được gọi là đa diện lồi. Ví dụ: Các khối lăng trụ tam giác , khối hộp, khối tứ diện là những khối đa diện lồi. Khối đa diện đều 1. Định nghĩa Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: • Các mặt là những đa giác đều p  cạnh • Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q  mặt ⇒ Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {p,q}. 2. Định lí Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là loại {3,3} , loại {4,3}  , loại {3,4}  , loại {5,3}   và loại  {3,5} . Bảng tóm tắt của năm loại khối tứ đa diện đều Giải bài tập SGK Toán 12 trang 18 Khối đa diện lồi khối đa diện đều Bài 1 (trang 18 SGK Hình học 12):  Cắt bìa theo mẫu dưới đây (h.123), gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều. Lời giải: Bài 2 (trang 18 SGK Hình học 12):  Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’). Lời giải: Gọi a là cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (hình (H)). Suy ra diện tích toàn phần của hình lập phương (H) là: SH = 6.a2 (đvdt). Gọi tâm các mặt của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ lần lượt là E, F, M, N, P, Q như hình vẽ. Suy ra (H’) là bát diện đều EMNPQF. + Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AA’D ⇒ A’D = a√2 + EM là đường trung bình của ΔBA’D ⇒ (H’) là bát diện đều gồm 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng  ⇒ Diện tích một mặt của (H’) là: ⇒ Diện tích toàn phần của (H’) là: Vậy tỉ số diện tích cần tính là: Bài 3 (trang 18 SGK Hình học 12):  Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một tứ diện đều. Lời giải: Xét tứ diện đều A.BCD cạnh bằng a. Gọi G1, G2, G3 và G4 lần lượt là tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Xét tam giác AMD có: Tương tự ta có: G1G2 =G2G3 = G3G4 = G1G3 = G1G4 = G2G4 =  Tâm các mặt của tứ diện đều ABCD tạo thành tứ diện G1G2G3G4 có độ dài mỗi cạnh là  Vậy tứ diện G1G2G3G4 là tứ diện đều. Bài 4 (trang 18 SGK Hình học 12):  Chứng minh rằng AB’CD’ là một tứ diện đều. Tính các cạnh của nó theo a. Lời giải: Giả sử bát diện đều ABCDEF có cạnh bằng a. a) B, C, D, E cách đều A và F suy ra B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF Trong mp (BCDE), ta có BC = CD = DE = EB (= a) ⇒ BCDE là hình thoi ⇒ BD ⊥ EC và BD, EC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Chứng minh tương tự ta suy ra AF và BD, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. b) Gọi trung điểm BD, CE, AF là O. Mà AB = AE (= a) ⇒ BO = OE ⇒ BD = EC ⇒ Hình thoi BCDE là hình vuông. Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông. Chú ý : Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông Bài tập tự luyện về Khối đa diện Làm thêm nhiều các bài tập tự luyện giúp các em rèn luyện tư duy giải nhanh và chính xác trắc nghiệm! Phần câu hỏi Câu 1: Cho các mệnh đề sau: I. Số cạnh của một khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 6. II. Số mặt của khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 5. III. Số đỉnh của khối đa diện lồi luôn lớn hơn 4. Trong các mệnh đề trên, những mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Chỉ I B. Chỉ II C. I và II D. II và III Câu 2: Có tất cả bao nhiêu khối đa diện đều? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Câu 3: Biết (H) là đa diện đều loại {3;5} với số đỉnh và số cạnh lần lượt là a và b. Tính a−b . A. a−b=18 B. a−b=−8 C. a−b=−18 D. a−b=10 Câu 4: Số hình đa diện lồi trong các hình dưới đây là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 5: Khối hai mươi mặt đều thuộc loại nào sau đây? A. {3;4} B. {4;3} C. {3;5} D. {5;3} Phần đáp án 1.C       2.B       3.C      4.B       5.C Lời kết Các em đã phân biệt và ghi nhớ được các tính chất của khối đa diện lồi, khối đa diện đều chưa nhỉ? Để làm thêm nhiều bài tập trắc nghiệm, ôn tập cho kì thi THPT Quốc gia, em có thể tìm kiếm trên nền tảng Toppy. Toppy với hàng trăm bài giảng chi tiết theo từng chủ đề, và hàng ngàn bài tập, đề thi giúp em ôn tập. >> Xem thêm: Tứ giác là gì? Những hình tứ giác phổ biến Tính chất hình chóp đều Khối đa diện

Lời giải:

Mở đầu chương trình Hình học 12, các em đã được học về định nghĩa, các tính chất cơ bản của khối đa diện. Bài học hôm nay, các thầy cô iToan sẽ đem đến cho các em kiến thức về hai loại khối đa diện: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều. Bài học sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức lý thuyết và thành thạo trong việc giải bài tập SGK cũng như bài tập tự luyện. Lý thuyết cần nắm về Khối đa diện Khối đa diện lồi Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của  (H) luôn thuộc (H) . Khi đó đa diện xác định (H)  được gọi là đa diện lồi. Ví dụ: Các khối lăng trụ tam giác , khối hộp, khối tứ diện là những khối đa diện lồi. Khối đa diện đều 1. Định nghĩa Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: • Các mặt là những đa giác đều p  cạnh • Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q  mặt ⇒ Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {p,q}. 2. Định lí Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là loại {3,3} , loại {4,3}  , loại {3,4}  , loại {5,3}   và loại  {3,5} . Bảng tóm tắt của năm loại khối tứ đa diện đều Giải bài tập SGK Toán 12 trang 18 Khối đa diện lồi khối đa diện đều Bài 1 (trang 18 SGK Hình học 12):  Cắt bìa theo mẫu dưới đây (h.123), gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều. Lời giải: Bài 2 (trang 18 SGK Hình học 12):  Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’). Lời giải: Gọi a là cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (hình (H)). Suy ra diện tích toàn phần của hình lập phương (H) là: SH = 6.a2 (đvdt). Gọi tâm các mặt của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ lần lượt là E, F, M, N, P, Q như hình vẽ. Suy ra (H’) là bát diện đều EMNPQF. + Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AA’D ⇒ A’D = a√2 + EM là đường trung bình của ΔBA’D ⇒ (H’) là bát diện đều gồm 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng  ⇒ Diện tích một mặt của (H’) là: ⇒ Diện tích toàn phần của (H’) là: Vậy tỉ số diện tích cần tính là: Bài 3 (trang 18 SGK Hình học 12):  Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một tứ diện đều. Lời giải: Xét tứ diện đều A.BCD cạnh bằng a. Gọi G1, G2, G3 và G4 lần lượt là tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Xét tam giác AMD có: Tương tự ta có: G1G2 =G2G3 = G3G4 = G1G3 = G1G4 = G2G4 =  Tâm các mặt của tứ diện đều ABCD tạo thành tứ diện G1G2G3G4 có độ dài mỗi cạnh là  Vậy tứ diện G1G2G3G4 là tứ diện đều. Bài 4 (trang 18 SGK Hình học 12):  Chứng minh rằng AB’CD’ là một tứ diện đều. Tính các cạnh của nó theo a. Lời giải: Giả sử bát diện đều ABCDEF có cạnh bằng a. a) B, C, D, E cách đều A và F suy ra B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF Trong mp (BCDE), ta có BC = CD = DE = EB (= a) ⇒ BCDE là hình thoi ⇒ BD ⊥ EC và BD, EC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Chứng minh tương tự ta suy ra AF và BD, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. b) Gọi trung điểm BD, CE, AF là O. Mà AB = AE (= a) ⇒ BO = OE ⇒ BD = EC ⇒ Hình thoi BCDE là hình vuông. Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông. Chú ý : Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông Bài tập tự luyện về Khối đa diện Làm thêm nhiều các bài tập tự luyện giúp các em rèn luyện tư duy giải nhanh và chính xác trắc nghiệm! Phần câu hỏi Câu 1: Cho các mệnh đề sau: I. Số cạnh của một khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 6. II. Số mặt của khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 5. III. Số đỉnh của khối đa diện lồi luôn lớn hơn 4. Trong các mệnh đề trên, những mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Chỉ I B. Chỉ II C. I và II D. II và III Câu 2: Có tất cả bao nhiêu khối đa diện đều? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Câu 3: Biết (H) là đa diện đều loại {3;5} với số đỉnh và số cạnh lần lượt là a và b. Tính a−b . A. a−b=18 B. a−b=−8 C. a−b=−18 D. a−b=10 Câu 4: Số hình đa diện lồi trong các hình dưới đây là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 5: Khối hai mươi mặt đều thuộc loại nào sau đây? A. {3;4} B. {4;3} C. {3;5} D. {5;3} Phần đáp án 1.C       2.B       3.C      4.B       5.C Lời kết Các em đã phân biệt và ghi nhớ được các tính chất của khối đa diện lồi, khối đa diện đều chưa nhỉ? Để làm thêm nhiều bài tập trắc nghiệm, ôn tập cho kì thi THPT Quốc gia, em có thể tìm kiếm trên nền tảng Toppy. Toppy với hàng trăm bài giảng chi tiết theo từng chủ đề, và hàng ngàn bài tập, đề thi giúp em ôn tập. >> Xem thêm: Tứ giác là gì? Những hình tứ giác phổ biến Tính chất hình chóp đều Khối đa diện

Bài 2 (trang 18 SGK Hình học 12): 

Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’).

Lời giải:

Mở đầu chương trình Hình học 12, các em đã được học về định nghĩa, các tính chất cơ bản của khối đa diện. Bài học hôm nay, các thầy cô iToan sẽ đem đến cho các em kiến thức về hai loại khối đa diện: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều. Bài học sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức lý thuyết và thành thạo trong việc giải bài tập SGK cũng như bài tập tự luyện. Lý thuyết cần nắm về Khối đa diện Khối đa diện lồi Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của  (H) luôn thuộc (H) . Khi đó đa diện xác định (H)  được gọi là đa diện lồi. Ví dụ: Các khối lăng trụ tam giác , khối hộp, khối tứ diện là những khối đa diện lồi. Khối đa diện đều 1. Định nghĩa Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: • Các mặt là những đa giác đều p  cạnh • Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q  mặt ⇒ Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {p,q}. 2. Định lí Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là loại {3,3} , loại {4,3}  , loại {3,4}  , loại {5,3}   và loại  {3,5} . Bảng tóm tắt của năm loại khối tứ đa diện đều Giải bài tập SGK Toán 12 trang 18 Khối đa diện lồi khối đa diện đều Bài 1 (trang 18 SGK Hình học 12):  Cắt bìa theo mẫu dưới đây (h.123), gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều. Lời giải: Bài 2 (trang 18 SGK Hình học 12):  Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’). Lời giải: Gọi a là cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (hình (H)). Suy ra diện tích toàn phần của hình lập phương (H) là: SH = 6.a2 (đvdt). Gọi tâm các mặt của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ lần lượt là E, F, M, N, P, Q như hình vẽ. Suy ra (H’) là bát diện đều EMNPQF. + Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AA’D ⇒ A’D = a√2 + EM là đường trung bình của ΔBA’D ⇒ (H’) là bát diện đều gồm 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng  ⇒ Diện tích một mặt của (H’) là: ⇒ Diện tích toàn phần của (H’) là: Vậy tỉ số diện tích cần tính là: Bài 3 (trang 18 SGK Hình học 12):  Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một tứ diện đều. Lời giải: Xét tứ diện đều A.BCD cạnh bằng a. Gọi G1, G2, G3 và G4 lần lượt là tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Xét tam giác AMD có: Tương tự ta có: G1G2 =G2G3 = G3G4 = G1G3 = G1G4 = G2G4 =  Tâm các mặt của tứ diện đều ABCD tạo thành tứ diện G1G2G3G4 có độ dài mỗi cạnh là  Vậy tứ diện G1G2G3G4 là tứ diện đều. Bài 4 (trang 18 SGK Hình học 12):  Chứng minh rằng AB’CD’ là một tứ diện đều. Tính các cạnh của nó theo a. Lời giải: Giả sử bát diện đều ABCDEF có cạnh bằng a. a) B, C, D, E cách đều A và F suy ra B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF Trong mp (BCDE), ta có BC = CD = DE = EB (= a) ⇒ BCDE là hình thoi ⇒ BD ⊥ EC và BD, EC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Chứng minh tương tự ta suy ra AF và BD, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. b) Gọi trung điểm BD, CE, AF là O. Mà AB = AE (= a) ⇒ BO = OE ⇒ BD = EC ⇒ Hình thoi BCDE là hình vuông. Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông. Chú ý : Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông Bài tập tự luyện về Khối đa diện Làm thêm nhiều các bài tập tự luyện giúp các em rèn luyện tư duy giải nhanh và chính xác trắc nghiệm! Phần câu hỏi Câu 1: Cho các mệnh đề sau: I. Số cạnh của một khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 6. II. Số mặt của khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 5. III. Số đỉnh của khối đa diện lồi luôn lớn hơn 4. Trong các mệnh đề trên, những mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Chỉ I B. Chỉ II C. I và II D. II và III Câu 2: Có tất cả bao nhiêu khối đa diện đều? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Câu 3: Biết (H) là đa diện đều loại {3;5} với số đỉnh và số cạnh lần lượt là a và b. Tính a−b . A. a−b=18 B. a−b=−8 C. a−b=−18 D. a−b=10 Câu 4: Số hình đa diện lồi trong các hình dưới đây là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 5: Khối hai mươi mặt đều thuộc loại nào sau đây? A. {3;4} B. {4;3} C. {3;5} D. {5;3} Phần đáp án 1.C       2.B       3.C      4.B       5.C Lời kết Các em đã phân biệt và ghi nhớ được các tính chất của khối đa diện lồi, khối đa diện đều chưa nhỉ? Để làm thêm nhiều bài tập trắc nghiệm, ôn tập cho kì thi THPT Quốc gia, em có thể tìm kiếm trên nền tảng Toppy. Toppy với hàng trăm bài giảng chi tiết theo từng chủ đề, và hàng ngàn bài tập, đề thi giúp em ôn tập. >> Xem thêm: Tứ giác là gì? Những hình tứ giác phổ biến Tính chất hình chóp đều Khối đa diện

Gọi a là cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (hình (H)).

Suy ra diện tích toàn phần của hình lập phương (H) là: SH = 6.a2 (đvdt).

Gọi tâm các mặt của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ lần lượt là E, F, M, N, P, Q như hình vẽ.

Suy ra (H’) là bát diện đều EMNPQF.

+ Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AA’D ⇒ A’D = a√2

+ EM là đường trung bình của ΔBA’D

Giải bài tập Toán 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ (H’) là bát diện đều gồm 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng Giải bài tập Toán 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ Diện tích một mặt của (H’) là:

Giải bài tập Toán 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ Diện tích toàn phần của (H’) là:

Giải bài tập Toán 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy tỉ số diện tích cần tính là:

Giải bài tập Toán 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 3 (trang 18 SGK Hình học 12): 

Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một tứ diện đều.

Lời giải:

Mở đầu chương trình Hình học 12, các em đã được học về định nghĩa, các tính chất cơ bản của khối đa diện. Bài học hôm nay, các thầy cô iToan sẽ đem đến cho các em kiến thức về hai loại khối đa diện: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều. Bài học sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức lý thuyết và thành thạo trong việc giải bài tập SGK cũng như bài tập tự luyện. Lý thuyết cần nắm về Khối đa diện Khối đa diện lồi Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của  (H) luôn thuộc (H) . Khi đó đa diện xác định (H)  được gọi là đa diện lồi. Ví dụ: Các khối lăng trụ tam giác , khối hộp, khối tứ diện là những khối đa diện lồi. Khối đa diện đều 1. Định nghĩa Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: • Các mặt là những đa giác đều p  cạnh • Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q  mặt ⇒ Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {p,q}. 2. Định lí Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là loại {3,3} , loại {4,3}  , loại {3,4}  , loại {5,3}   và loại  {3,5} . Bảng tóm tắt của năm loại khối tứ đa diện đều Giải bài tập SGK Toán 12 trang 18 Khối đa diện lồi khối đa diện đều Bài 1 (trang 18 SGK Hình học 12):  Cắt bìa theo mẫu dưới đây (h.123), gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều. Lời giải: Bài 2 (trang 18 SGK Hình học 12):  Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’). Lời giải: Gọi a là cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (hình (H)). Suy ra diện tích toàn phần của hình lập phương (H) là: SH = 6.a2 (đvdt). Gọi tâm các mặt của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ lần lượt là E, F, M, N, P, Q như hình vẽ. Suy ra (H’) là bát diện đều EMNPQF. + Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AA’D ⇒ A’D = a√2 + EM là đường trung bình của ΔBA’D ⇒ (H’) là bát diện đều gồm 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng  ⇒ Diện tích một mặt của (H’) là: ⇒ Diện tích toàn phần của (H’) là: Vậy tỉ số diện tích cần tính là: Bài 3 (trang 18 SGK Hình học 12):  Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một tứ diện đều. Lời giải: Xét tứ diện đều A.BCD cạnh bằng a. Gọi G1, G2, G3 và G4 lần lượt là tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Xét tam giác AMD có: Tương tự ta có: G1G2 =G2G3 = G3G4 = G1G3 = G1G4 = G2G4 =  Tâm các mặt của tứ diện đều ABCD tạo thành tứ diện G1G2G3G4 có độ dài mỗi cạnh là  Vậy tứ diện G1G2G3G4 là tứ diện đều. Bài 4 (trang 18 SGK Hình học 12):  Chứng minh rằng AB’CD’ là một tứ diện đều. Tính các cạnh của nó theo a. Lời giải: Giả sử bát diện đều ABCDEF có cạnh bằng a. a) B, C, D, E cách đều A và F suy ra B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF Trong mp (BCDE), ta có BC = CD = DE = EB (= a) ⇒ BCDE là hình thoi ⇒ BD ⊥ EC và BD, EC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Chứng minh tương tự ta suy ra AF và BD, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. b) Gọi trung điểm BD, CE, AF là O. Mà AB = AE (= a) ⇒ BO = OE ⇒ BD = EC ⇒ Hình thoi BCDE là hình vuông. Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông. Chú ý : Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông Bài tập tự luyện về Khối đa diện Làm thêm nhiều các bài tập tự luyện giúp các em rèn luyện tư duy giải nhanh và chính xác trắc nghiệm! Phần câu hỏi Câu 1: Cho các mệnh đề sau: I. Số cạnh của một khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 6. II. Số mặt của khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 5. III. Số đỉnh của khối đa diện lồi luôn lớn hơn 4. Trong các mệnh đề trên, những mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Chỉ I B. Chỉ II C. I và II D. II và III Câu 2: Có tất cả bao nhiêu khối đa diện đều? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Câu 3: Biết (H) là đa diện đều loại {3;5} với số đỉnh và số cạnh lần lượt là a và b. Tính a−b . A. a−b=18 B. a−b=−8 C. a−b=−18 D. a−b=10 Câu 4: Số hình đa diện lồi trong các hình dưới đây là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 5: Khối hai mươi mặt đều thuộc loại nào sau đây? A. {3;4} B. {4;3} C. {3;5} D. {5;3} Phần đáp án 1.C       2.B       3.C      4.B       5.C Lời kết Các em đã phân biệt và ghi nhớ được các tính chất của khối đa diện lồi, khối đa diện đều chưa nhỉ? Để làm thêm nhiều bài tập trắc nghiệm, ôn tập cho kì thi THPT Quốc gia, em có thể tìm kiếm trên nền tảng Toppy. Toppy với hàng trăm bài giảng chi tiết theo từng chủ đề, và hàng ngàn bài tập, đề thi giúp em ôn tập. >> Xem thêm: Tứ giác là gì? Những hình tứ giác phổ biến Tính chất hình chóp đều Khối đa diện

Xét tứ diện đều A.BCD cạnh bằng a. Gọi G1, G2, G3 và G4 lần lượt là tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC.

Gọi M là trung điểm của BC.

Xét tam giác AMD có:

Giải bài tập Toán 12 | Để học tốt Toán 12

Tương tự ta có: G1G2 =G2G3 = G3G4 = G1G3 = G1G4 = G2G4 = Giải bài tập Toán 12 | Để học tốt Toán 12

Tâm các mặt của tứ diện đều ABCD tạo thành tứ diện G1G2G3G4 có độ dài mỗi cạnh là Giải bài tập Toán 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy tứ diện G1G2G3G4 là tứ diện đều.

Bài 4 (trang 18 SGK Hình học 12): 

Chứng minh rằng AB’CD’ là một tứ diện đều. Tính các cạnh của nó theo a.

Lời giải:

Mở đầu chương trình Hình học 12, các em đã được học về định nghĩa, các tính chất cơ bản của khối đa diện. Bài học hôm nay, các thầy cô iToan sẽ đem đến cho các em kiến thức về hai loại khối đa diện: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều. Bài học sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức lý thuyết và thành thạo trong việc giải bài tập SGK cũng như bài tập tự luyện. Lý thuyết cần nắm về Khối đa diện Khối đa diện lồi Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của  (H) luôn thuộc (H) . Khi đó đa diện xác định (H)  được gọi là đa diện lồi. Ví dụ: Các khối lăng trụ tam giác , khối hộp, khối tứ diện là những khối đa diện lồi. Khối đa diện đều 1. Định nghĩa Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: • Các mặt là những đa giác đều p  cạnh • Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q  mặt ⇒ Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {p,q}. 2. Định lí Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là loại {3,3} , loại {4,3}  , loại {3,4}  , loại {5,3}   và loại  {3,5} . Bảng tóm tắt của năm loại khối tứ đa diện đều Giải bài tập SGK Toán 12 trang 18 Khối đa diện lồi khối đa diện đều Bài 1 (trang 18 SGK Hình học 12):  Cắt bìa theo mẫu dưới đây (h.123), gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều. Lời giải: Bài 2 (trang 18 SGK Hình học 12):  Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’). Lời giải: Gọi a là cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (hình (H)). Suy ra diện tích toàn phần của hình lập phương (H) là: SH = 6.a2 (đvdt). Gọi tâm các mặt của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ lần lượt là E, F, M, N, P, Q như hình vẽ. Suy ra (H’) là bát diện đều EMNPQF. + Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AA’D ⇒ A’D = a√2 + EM là đường trung bình của ΔBA’D ⇒ (H’) là bát diện đều gồm 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng  ⇒ Diện tích một mặt của (H’) là: ⇒ Diện tích toàn phần của (H’) là: Vậy tỉ số diện tích cần tính là: Bài 3 (trang 18 SGK Hình học 12):  Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một tứ diện đều. Lời giải: Xét tứ diện đều A.BCD cạnh bằng a. Gọi G1, G2, G3 và G4 lần lượt là tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Xét tam giác AMD có: Tương tự ta có: G1G2 =G2G3 = G3G4 = G1G3 = G1G4 = G2G4 =  Tâm các mặt của tứ diện đều ABCD tạo thành tứ diện G1G2G3G4 có độ dài mỗi cạnh là  Vậy tứ diện G1G2G3G4 là tứ diện đều. Bài 4 (trang 18 SGK Hình học 12):  Chứng minh rằng AB’CD’ là một tứ diện đều. Tính các cạnh của nó theo a. Lời giải: Giả sử bát diện đều ABCDEF có cạnh bằng a. a) B, C, D, E cách đều A và F suy ra B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF Trong mp (BCDE), ta có BC = CD = DE = EB (= a) ⇒ BCDE là hình thoi ⇒ BD ⊥ EC và BD, EC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Chứng minh tương tự ta suy ra AF và BD, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. b) Gọi trung điểm BD, CE, AF là O. Mà AB = AE (= a) ⇒ BO = OE ⇒ BD = EC ⇒ Hình thoi BCDE là hình vuông. Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông. Chú ý : Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông Bài tập tự luyện về Khối đa diện Làm thêm nhiều các bài tập tự luyện giúp các em rèn luyện tư duy giải nhanh và chính xác trắc nghiệm! Phần câu hỏi Câu 1: Cho các mệnh đề sau: I. Số cạnh của một khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 6. II. Số mặt của khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 5. III. Số đỉnh của khối đa diện lồi luôn lớn hơn 4. Trong các mệnh đề trên, những mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Chỉ I B. Chỉ II C. I và II D. II và III Câu 2: Có tất cả bao nhiêu khối đa diện đều? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Câu 3: Biết (H) là đa diện đều loại {3;5} với số đỉnh và số cạnh lần lượt là a và b. Tính a−b . A. a−b=18 B. a−b=−8 C. a−b=−18 D. a−b=10 Câu 4: Số hình đa diện lồi trong các hình dưới đây là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 5: Khối hai mươi mặt đều thuộc loại nào sau đây? A. {3;4} B. {4;3} C. {3;5} D. {5;3} Phần đáp án 1.C       2.B       3.C      4.B       5.C Lời kết Các em đã phân biệt và ghi nhớ được các tính chất của khối đa diện lồi, khối đa diện đều chưa nhỉ? Để làm thêm nhiều bài tập trắc nghiệm, ôn tập cho kì thi THPT Quốc gia, em có thể tìm kiếm trên nền tảng Toppy. Toppy với hàng trăm bài giảng chi tiết theo từng chủ đề, và hàng ngàn bài tập, đề thi giúp em ôn tập. >> Xem thêm: Tứ giác là gì? Những hình tứ giác phổ biến Tính chất hình chóp đều Khối đa diện

Giả sử bát diện đều ABCDEF có cạnh bằng a.

a) B, C, D, E cách đều A và F suy ra B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF

Trong mp (BCDE), ta có BC = CD = DE = EB (= a)

⇒ BCDE là hình thoi

⇒ BD ⊥ EC và BD, EC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Chứng minh tương tự ta suy ra AF và BD, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b) Gọi trung điểm BD, CE, AF là O.

Giải bài tập Toán 12 | Để học tốt Toán 12

Mà AB = AE (= a) ⇒ BO = OE ⇒ BD = EC

⇒ Hình thoi BCDE là hình vuông.

Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông.

Chú ý : Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông

Bài tập tự luyện về Khối đa diện

Làm thêm nhiều các bài tập tự luyện giúp các em rèn luyện tư duy giải nhanh và chính xác trắc nghiệm!

Phần câu hỏi

Câu 1: Cho các mệnh đề sau:

I. Số cạnh của một khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 6.

II. Số mặt của khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 5.

III. Số đỉnh của khối đa diện lồi luôn lớn hơn 4.

Trong các mệnh đề trên, những mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

A. Chỉ I

B. Chỉ II

C. I và II

D. II và III

Câu 2: Có tất cả bao nhiêu khối đa diện đều?

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Câu 3: Biết (H) là đa diện đều loại {3;5} với số đỉnh và số cạnh lần lượt là a và b. Tính ab .

A. ab=18

B. ab=8

C. ab=18

D. ab=10

Câu 4: Số hình đa diện lồi trong các hình dưới đây là:

Khối đa diện

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 5: Khối hai mươi mặt đều thuộc loại nào sau đây?

A. {3;4}

B. {4;3}

C. {3;5}

D. {5;3}

Phần đáp án

1.C       2.B       3.C      4.B       5.C

Lời kết

Các em đã phân biệt và ghi nhớ được các tính chất của khối đa diện lồi, khối đa diện đều chưa nhỉ? Để làm thêm nhiều bài tập trắc nghiệm, ôn tập cho kì thi THPT Quốc gia, em có thể tìm kiếm trên nền tảng Toppy. Toppy với hàng trăm bài giảng chi tiết theo từng chủ đề, và hàng ngàn bài tập, đề thi giúp em ôn tập.

>> Xem thêm:

Minh Phương

Là 1 giáo viên Toán tôi luôn nỗ lực không ngừng để mang đến cho học sinh những bài học sinh động, lý thú, giúp các em vững vàng kiến thức và say mê, yêu thích môn Toán hơn.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *