Tổng hợp lý thuyết về hàm số – Đại số Toán 10

Tập xác định của hàm số

 Giả sử có hai đại lượng x và y, trong đó x nhận giá trị thuộc tập D.

• Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số.
• x được gọi là biến số (đối số), y là hàm số của x.
• D được gọi là tập xác định của hàm số.

Cách cho hàm số

 Một hàm số được cho bởi các cách sau:

• Hàm số cho bằng bảng.

Ví dụ: Bảng thu nhập bình quân đầu người (TNBQĐN) của nước ta từ 1995 đến 2004

Là một hàm số có tập xác định là: D = {1995; 1996; 1997; 1998; 1999; 2000; 2001; 2002; 2004}.

• Hàm số cho bằng biểu đồ.

Ví dụ: Biểu đồ cho trong hình sau là một hàm số:

• Hàm số cho bằng công thức y=f(x).

Các hàm số đã học như: y=ax+b;y=ax;y=ax2 là các hàm số cho bằng công thức.

Tập xác định của hàm số y=f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho f(x) có nghĩa.

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số: y=3x−2−−−−−√

Giải

Hàm số xác định khi 3x−2≥0⇔x≥23

Vậy tập xác định của hàm số là D=[23;+∞)

Chú ý: Hàm số có thể được cho bằng hai, ba, … công thức. Chẳng hạn, cho hàm số

y={2x+1,−x2,x≥0x<0

Nghĩa là khi x≥0 hàm số được xác định bởi biểu thức f(x)=2x+1 khi x<0 hàm số được xác định bởi biểu thức g(x)=−x2.

Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số y=f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M(x;f(x)) trên mặt phẳng toạ độ với mọi  x∈D.

Ví dụ: Ta đã biết đồ thị hàm số bậc nhất là một đường thẳng, đồ thị hàm số bậc hai là một đường parabol.

                              

Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y=f(x) là một đường (đường thẳng, đường cong, ..). Khi đó ta nói y=f(x) là phương trình của đường đó.

Ví dụ: 

+ y=ax+b là phương trình của đường thẳng.

+ y=ax2(a≠0)là phương trình của một đường parabol.

Sự biến thiên của hàm số

Cho hàm số y=f(x) xác định trên K .

• Hàm số y=f(x) đồng biến trên K nếu ∀x1,x2∈K,x1<x2⇒f(x1)<f(x2).

• Hàm số y=f(x) nghịch biến trên K nếu ∀x1,x2∈K,x1<x2⇒f(x1)>f(x2).

Ví dụ: Xét hàm số: f(x)=−2x+3  trên R .

Ta có:

Với mọi  x1,x2∈R và x1<x2,

Ta có:  f(x1)−f(x2)=−2x1+3−(−2x2+3)=−2(x1−x2)

Suy ra: f(x1)−f(x2)x1−x2=−2(x1−x2)x1−x2=−2<0

Vậy hàm số nghịch biến trên R

Tính chẵn lẻ của hàm số

Cho hàm số  f  có tập xác định  D

Hàm số f  được gọi là hàm số chẵn nếu với ∀x∈D thì −x∈D và f(−x)=f(x).

Hàm số  f được gọi là hàm số lẻ nếu với ∀x∈D thì −x∈D và f(−x)=−f(x).

Chú ý: Một hàm số không nhất thiết phải là hàm số chẵn hay hàm số lẻ.

Ví dụ: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau

a. y=2015x

b. y=2015x+2

c. y=3x2−1

Giải

a) Tập xác định D=R  là tập đối xứng. Ta có:

f(−x)=2015(−x)=−2015x=−f(x)

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b)  Tập xác định  D=R  là tập đối xứng. Ta có:

f(−x)=2015(−x)+2=−2015x+2≠±f(x)

Vậy hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.

c)  Tập xác định  D=R là tập đối xứng. Ta có:

f(−x)=3(−x)2−1=3x2−1=f(x)

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Trên là tổng hợp lý thuyết về hàm số mà Itoan muốn gửi đến các bạn học sinh. Hy vọng có thể giúp các bạn học tập hiệu quả hơn.

Xem thêm: Số gần đúng Sai số – Tổng hợp lý thuyết và bài tập Toán 10