Mặt cầu- Khối cầu – Bài tập & Lời giải hình học 12
Xin chào các bạn học sinh của iToan. Tiết học hôm trước chúng ta đã được học về khái niệm mặt tròn xoay, các em đã hiểu và tự làm được bài chưa nhỉ? Trong buổi học hôm nay, chúng ta sẽ đi tìm hiểu về một khái niệm mới trong hình học 12: Mặt cầu- Khối cầu. Bài giảng được iToan biên soạn dựa theo chương trình sách giáo khoa, với mục đích giúp các em nắm được kiến thức trên lớp và tự tin trong các kì thi!
Mục tiêu bài học
Sau bài học này, các em cần nắm được các kiến thức sau:
- Khái niệm, tính chất của mặt cầu, khối cầu
- Các vị trí tương đối của mặt cầu
- Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
- Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa
Lý thuyết mặt cầu khối cầu
Định nghĩa
Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R, kí hiệu là: S(O; R). Khi đó S(O; R) = {M|OM = R}
Vị trí tương đối của mặt cầu
Vị trí tương đối của một điểm với mặt cầu
Cho mặt cầu S(O; R) và một điểm A bất kì, khi đó:
– Nếu OA = R ⇔ A ∈ S(O; R). Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu. Nếu OA và OB là hai bán kính sao cho OA→ = –OB→ thì đoạn thẳng AB gọi là một đường kính của mặt cầu.
– Nếu OA < R ⇔ A nằm trong mặt cầu.
– Nếu OA > R ⇔ A nằm ngoài mặt cầu.
⇒ Khối cầu S(O; R) là tập hợp tất cả các điểm M sao cho OM ≤ R.
Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu S(O; R) và một mp(P). Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến mp(P) và H là hình chiếu của O trên mp(P) ⇒ d = OH.
– Nếu d < R ⇔ mp(P) cắt mặt cầu S(O; R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên
– Nếu d > R ⇔ mp(P) không cắt mặt cầu S(O; R) (hình b).
– Nếu d = R ⇔ mp(P) có một điểm chung duy nhất. Ta nói mặt cầu S(O; R) tiếp xúc mp(P). Do đó, điều kiện cần và đủ để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) là s(O, (P)) = R (hình c).
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu S(O; R) và một đường thẳng Δ. Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng Δ và d = OH là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến đường thẳng Δ. Khi đó:
– Nếu d > R ⇔ Δ không cắt mặt cầu S(O; R).
– Nếu d < R ⇔ Δ cắt mặt cầu S(O; R) tại hai điểm phân biệt.
– Nếu d = R ⇔ Δ và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất). Do đó: điều kiện cần và đủ để đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu là d = d(O, Δ) = R.
Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) thì:
– Qua có vô số tiếp tuyến với mặt cầu S(O; R).
– Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
– Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu S(O; R).
Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
• Diện tích mặt cầu: SC = 4πR2.
• Thể tích mặt cầu: VC = (4/3)πR3.
Giải bài tập SGK Hình học 12 Mặt cầu
Bài 1
Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong không gian luôn luôn nhìn một đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông.
Lời giải:
+ Gọi O là trung điểm của AB.
Tam giác AMB là vuông tại M có OM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên : 
Suy ra, M thuộc mặt cầu tâm O, bán kính là 
+ Ngược lại, xét mặt cầu 
với O là trung điểm của AB.
Lấy điểm M bất kì thuộc mặt cầu này. Suy ra: 
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
⇒ Tam giác MAB vuông tại M.
Kết luận: Vậy tập hợp các điểm M trong không gian luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới 1 góc vuông là mặt cầu 
Bài 2
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đều bằng a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
Lời giải:
S.ABCD là hình chóp tứ giác đều cạnh đều bằng a
⇒ ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD = a.
Gọi O là hình chiếu của S trên (ABCD).
⇒ O là tâm hình vuông ABCD
⇒ OA = OB = OC = OD = OS.
⇒ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD,
bán kính mặt cầu là 
Bài 3
Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn chứa một đường tròn cố định cho trước.
Lời giải:
Gọi I là tâm của mặt cầu chứa đường tròn (C) cố định cho trước.
⇒ I cách đều tất cả các điểm M thuộc đường tròn (C)
Bài 4
Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.
Lời giải:
* Xét mặt cầu (S) tâm J, bán kính R và tiếp xúc với ba cạnh: AB, BC, AC lần lượt tại M, N và P.
Gọi I là hình chiếu vuông góc của J lên mp (ABC) ⇒ IJ ⊥ (ABC)
* Ta có: 
(định lí 3 đường vuông góc)
Chứng minh tương tự có: 
(1)
* Xét ba tam giác JIM; JIN và JIP có:
⇒ ∆ JIM = ∆ JIN = ∆JIP (ch- cgv)
⇒ IN = IM = IP (2)
Từ (1) và (2) suy ra, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
* Lấy điểm J thuộc trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với ba cạnh AB, BC và CA lần lượt taị M, N và P.
Ta có: 
(1)
Mặt khác; IM = IN = IP = r.
⇒ ∆ JIM = ∆ JIN = ∆JIP (c-g-c)
⇒ JM = JN = JP (2)
Từ (1) và (2) suy ra, mặt cầu (S) tâm J tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC.
Vậy tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC cho trước là trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC,
Bài 5
Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu (O; R), vẽ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.
a) Chứng minh rằng MA.MB = MC.MD
b) Gọi MO = d. Tính MA.MB theo R và d.
Lời giải:
a) Hai đường thẳng MAB và MCD giao nhau xác định một mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C), ngoại tiếp tứ giác phẳng ABCD.
Xét ΔMAC và ΔMDB có:
⇒ MA.MB = MC.MD (đpcm).
b) Giả sử đường thẳng MO cắt mặt cầu tại P và Q.
Theo kết quả phần a) ta cùng có:
MA.MB = MP.MQ
Mà MP.MQ = (MO – OP)(MO + OQ) = (d – r)(d + r) = d2 – r2.
Vậy MA.MB = d2 – r2.
Bài 6
Cho mặt cầu (O; R) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại I. Gọi M là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với I qua tâm O. Từ M ta kẻ hai tiếp tuyến của mặt cầu cắt (P) tại A và B. Chứng minh rằng góc (AMB)= góc (AIB)
Lời giải:
* Do mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với mp (P) tại I nên: OI ⊥ (P) ⇒ OI ⊥ IA
Suy ra, AI là tiếp tuyến của mặt cầu đã cho tại điểm I.
Ta có AM và AI là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A của mặt cầu nên:
AM = AI ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
* Tương tự có BM = BI.
* Xét hai tam giác AMB và tam giác AIB có:
AM = AI
BM = BI
AB chung
Suy ra: ∆ AMB = ∆ AIB ( c.c.c)
Bài 7
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a, AB = b, AD = c.
a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.
b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mp(ABCD) với mặt cầu trên.
Lời giải:
Bài 8
Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.
Lời giải:
Gọi mặt cầu S(O; R) tiếp xúc với các cạnh của hình tứ diện đã cho lần lượt tại M, N, P, Q ,R và S.
* Ta chứng minh: AM = AR = AQ.
Do mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh AB, AC và AD lần lượt tại M; R và Q nên :
Xét ba tam giác OAM; OAR và OAQ có:
* Chứng minh tương tự ta có:
BM = BN = BS = b
CP = CN = CR = c.
DP = DQ = DS = d
Ta có:
Do đó, AB + CD = AC + BD = AD + BC.
Bài 9
Cho một điểm A cố định và một đường thẳng a cố định không đi qua A. Gọi O là một điểm thay đổi trên a. Chứng minh rằng các mặt cầu tâm O bán kính r = OA luôn luôn đi qua một đường tròn cố định
Lời giải:
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng a tại H. Khi đó (P) và H cố định.
Ta có: (P) cắt mặt cầu S(O; R) theo đường tròn tâm H và bán kính HA không đổi.
Vậy các mặt cầu tâm O bán kính R = OA luôn đi qua đường tròn cố định tâm H bán kính bằng HA.
Bài 10
Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Lời giải:
* Gọi M là trung điểm của tam giác SAB.
Tam giác SAB là tam giác vuông tại S có SM là đường trung tuyến nên ta có:
⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.
* Kẻ Mt ⊥ (SAB), ta có: Mt// SC và Mt là trục đưởng tròn ngoại tiếp tam giác SAB.
Trong mp(Mt, SC), đường trung trực của SC cắt Mt tại điểm I.
Ta có: IS = IC. (1)
Và IS = IB = IA (2).
Từ (1) và (2) suy ra: IA = IB= IC = IS
Do đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là :
Lời kết
Vậy là bài giảng Mặt cầu đã kết thúc tại đây. Để làm thêm nhiều bài tập tự luyện bằng trắc nghiệm, các em hãy truy cập Toppy. Toppy là nền tảng học trực tuyến giúp em có phương pháp học tốt hơn, học bài hiệu quả hơn và ghi nhớ lâu hơn!
Chúc các em luôn học tốt!
>> Xem thêm:
- Tính chất của tiếp tuyến cắt nhau
- Kiến thức về các tập hợp số
- Đường tròn ngoại tiếp – đường tròn nội tiếp
