Nghiệm của đa thức một biến – Học giỏi toán cùng iToan

4.9/5 - (10 bình chọn)

Ở những bài học trước, các em đã được tìm hiểu và luyện tập Đa thức một biến và Cộng trừ đa thức một biến. Đến bài học hôm nay, các em sẽ tiếp tục tìm hiểu về đa thức một biến, nhưng là nghiệm của nó. Vậy Nghiệm của đa thức một biến là gì? Phương pháp giải ra sao? Cùng iToan tìm hiểu nhé!

Mục tiêu bài học Nghiệm của đa thức một biến

Trước khi đi vào phần trọng tâm của bài học, các em hãy cùng cô đạt được những mục tiêu sau đây nhé:

Nắm chắc lý thuyết bài học nghiệm của đa thức một biến.
Vận dụng các phương pháp để làm bài tập về cách tìm nghiệm của đa thức một biến.

Lý thuyết bài học Nghiệm của đa thức một biến

1. Nghiệm của đa thức một biến là gì?

Định nghĩa

Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x = a) là nghiệm của đa thức P(x).

Chú ý:

Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm,… hoặc không có nghiệm.
Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức không) không vượt quá bậc của nó. Nói theo cách khác thì số nghiệm của đa thức bằng chính số bậc của nó. Chẳng hạn: đa thức bậc nhất chỉ có một nghiệm, đa thức bậc hai không quá hai nghiệm, đa thức bậc tám thì có tám nghiệm.
Tìm nghiệm của đa thức P(x), ta cho P(x) = 0 rồi giải tìm x, các giá trị của x tìm được là nghiệm của đa thức P(x).

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm nghiệm của đa thức một biến sau: P(x) = 2y + 6

Hướng dẫn giải:

Ta có: 2y + 6 = 0 ⇒ 2y = -6 ⇒ y = -3

Vậy nghiệm của đa thức P(x) là -3.

Ví dụ 2: Cho các giá trị của x là 0; -1; 1; 2; -2. Giá trị nào của x là nghiệm của đa thức P(x) = x² + x – 2

Hướng dẫn giải:

P(0) = 0² + 0 – 2 = -2 ≠ 0 ⇒ x = 0 không phải là nghiệm của P(x)
P(-1) = (-1)² + 1.(-1) – 2 = -2 ≠ 0 ⇒ x = -1 không là nghiệm của P(x)
P(1) = 1² + 1.1 – 2 = 0 ⇒ x = 1 là nghiệm của P(x)
P(2) = 2² + 1.2 – 2 = 4 ≠ 0 ⇒ x = 2 không là nghiệm của P(x)
P(-2) = (-2)² + 1.(-2) – 2 = 0 ⇒ x = -2 không là nghiệm của P(x)

Vậy nghiệm của P(x) là x = 1; x = -2

Để hiểu hơn về bài học ngày hôm nay, các em hãy theo dõi video bài giảng dưới đây nhé!

Hướng dẫn giải nghiệm của đa thức một biến SBT và SGK

Dưới đây là các bài tập về nghiệm của đa thức một biến (có đáp án) trong sgk và sbt. Các em hãy tự làm bài theo lý thuyết itoan đã giảng ở trên và đối chiếu lại sau khi đã làm xong nhé! Việc làm bài tập trong chương trình học sẽ cung cấp cho các em một nền tảng vững chắc để các em tiếp thu những kiến thức cao hơn.

Trả lời câu hỏi Toán 7 tập 2 Bài 9 trang 48:

x = -2; x = 0 và x = 2 có phải là các nghiệm của đa thức x³ – 4x hay không? Vì sao?

Hướng dẫn giải:

Giá trị của đa thức x³ – 4x tại x = -2 là: (-2)³ – 4.( – 2) = – 8 + 8 = 0
Giá trị của đa thức x³ – 4x tại x = 0 là: 0³ – 4.0 = 0 – 0 = 0
Giá trị của đa thức x³ – 4x tại x = 2 là: 2³ – 4.2 = 8 – 8 = 0

Vậy x = -2; x = 0 và x = 2 là các nghiệm của đa thức x³ – 4x

Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 9 trang 48:

Trong các số cho sau, với mỗi đa thức, số nào là nghiệm của đa thức?

a) P(x)=2x + 1/2	1/4	1/2	-1/4
b) Q(x) = x² – 2x -3	3	1	-1

Hướng dẫn giải

$a,\ P\left(\frac{1}{4}\right)=\ 2.\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

$P\left(\frac{1}{2}\right)=\ 2.\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\ 1+\ \frac{1}{2}\ =\ \frac{3}{2}$

$P\left(\frac{-1}{4}\right)=2.\frac{-1}{4}+\frac{1}{2}=\ \frac{-1}{2}+\frac{1}{2}=0$

Vậy nghiệm của đa thức P(x) = 2x + $\frac{1}{2}$ là x = $\frac{- 1}{4}$

b) Q(3) = 3²– 2.3 – 3 = 9 – 6 – 3 = 0

Q(1) = 1² – 2.1 – 3 = 1 – 2 – 3 = – 4

Q(-1) = (-1)² – 2.(-1) – 3 = 1 + 2 – 3 = 0

Vậy Nghiệm của đa thức Q(x) = x² – 2x – 3 là x = 3 và x = -1

Bài 54 (trang 48 SGK Toán 7 tập 2):

Kiểm tra xem:

a) x = 1/10 có phải là nghiệm của đa thức P(x) = 5x + 1/2

b) Mỗi số x = 1; x = 3 có phải là một nghiệm của đa thức Q(x) = x²– 4x + 3 không.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$P\left(\frac{1}{10}\right)=5.\left(\frac{1}{10}\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$

$Vì\ P\left(\frac{1}{10}\right)\ne0\ nên\ x=\frac{1}{10}\ không\ là\ nghiệm\ của\ P\left(x\right)$

b) Ta có:

Q(1) = 1²– 4.1 + 3 = 1 – 4 + 3 = 0

=> Nghiệm của Q(x) là x = 1

Q(3) = 3² – 4.3 + 3 = 9 – 12 + 3 = 0

=> Nghiệm của Q(x) là x = 3

Vậy x = 1 và x = 3 là nghiệm của Q(x).

Bài 55 (trang 48 SGK Toán 7 tập 2):

a) Tìm nghiệm của đa thức sau: P(y) = 3y + 6.

b) Chứng tỏ rằng đa thức sau không có nghiệm: Q(x) = y4 + 2

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: P(x) = 3y + 6 có nghiệm khi: ⇔ 3y + 6 = 0 ⇔ 3y = –6 ⇔ y = –2.

Vậy đa thức P(y) có nghiệm là y = –2.

b) Ta có: y⁴≥ 0 với mọi y.

Nên y⁴ + 2 > 0 với mọi y.

Tức là Q(y) ≠ 0 với mọi y.

Vậy Q(y) không có nghiệm ( điều phải chứng minh ).

Ví dụ, thay y = -2 chẳng hạn thì y⁴ = (-2)⁴ = 16 là số dương.

Bài 56 (trang 48 SGK Toán 7 tập 2):

Hướng dẫn giải:

– Bạn Hùng nói sai.

– Bạn Sơn nói đúng.

– Có rất nhiều đa thức một biến khác nhau có một nghiệm bằng 1.

Chẳng hạn:

A(x) = x – 1

B(x) = 1 – x

C(x) = 2x – 2

D(x) = -3x² + 3

……..

(Miễn là tổng hệ số của biến x và hệ số tự do luôn bằng 0)

Bài tập tự luyện Nghiệm của đa thức một biến

Câu 1: Cho đa thức sau f(x) = x² + 5x – 6. Các nghiệm của đa thức đã cho là:

A. 2 và 3

B. 1 và – 6

C. -3 và -6

D. -3 và 8

Câu 2: Đa thức g(x)= −2x(x3+8) có nghiệm là:

A. x=−2; x=−1

B. x=2; x=−5

C. x=1; x=−4

D. x=0; x=−2

Câu 3: Đa thức có giá trị bằng 0 tại x=−1 là:

A. g(x) = x2 + 1

B. f(x) = x²+ x

C. h(x) = x²− x

D. k(x) = 2x⁴+ 2

Câu 4: Số nghiệm của đa thức x³ + 27 là:

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Câu 5: Số −3 và 3 không đồng thời là nghiệm của đa thức nào sau đây?

A. M(x) = x²− 9

B. N(x) = (x−3)²(x+3)

C. Q(x) = (x+3)²

D. C(x) = 3 − |x|

Đáp án bài tập tự luyện bài Nghiệm của đa thức một biến

1.B

2.D

3.B

4.A

5.C

Kết luận

Bài học Nghiệm của đa thức một biến đến đây là kết thúc. Sau buổi học này các em sẽ nắm được lý thuyết, định nghĩa và các phương pháp tìm nghiệm của đa thức. iToan chúc các em học tốt và đạt được nhiều điểm cao trong quá trình học. Nếu các em cần bất kỳ sự trợ giúp nào từ itoan, hãy liên hệ ngay với chúng tôi nhé.

Xem thêm:

Cộng trừ đa thức 1 biến – Học toán 7 không khó cùng iToan
Mặt phẳng tọa độ – Bài tập & Lời giải SGK Toán 7

Nghiệm của đa thức một biến – Học giỏi toán cùng iToan

Mục tiêu bài học Nghiệm của đa thức một biến