Nhân đa thức với đa thức – Chinh phục toán 8 cùng itoan

Nhân đa thức với đa thức là phần kiến thức cơ bản của Toán lớp 8. Trong bài trước chúng ta đã tìm hiểu về cách nhân đơn thức với đa thức. Trong bài hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về nhân đa thức với đa thức. Đây là phần kiến thức vô cùng quan trọng, có liên quan chặt sẽ với những bài học đại số tiếp theo. Tuy nhiên các bài tập đa dạng cũng khiến nhiều học sinh ngán ngẩm. Nhưng đừng quá lo lắng nhé! Hôm nay, itoan sẽ chia sẻ đến các bạn công thức tổng quát cùng một số bài tập ứng dụng về chủ đề nhân đa thức với đa thức ngay sau đây!

Quy tắc nhân đa thức với đa thức

Nội dung quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này, với từng hạng tử của đa thức kia, rồi cộng các hạng tử lại với nhau.

Cách nhân đa thức với đa thức được phát triển từ công thức đơn thức nhân đa thức. Quy tắc này được thể hiện bởi biểu thức:

(A+B)(C+D) = A(C+D) + B(C+D)  = AC + AD + BC + BD

Quy tắc nhân đa thức với đa thức có thể áp dụng với những biểu thức chứa nhiều ẩn số.

Các bài tập nhân đa thức với đa thức nâng cao hay cơ bản cũng đều tuân theo quy tắc này.

Một số dạng nhân đa thức với đa thức bài tập

Bài 1: Thực hiện phép tính:

a, (5x – 2y)(x² – xy + 1)

b, (x – 1)(x + 1)(x + 2)

c, 12 x²y² (2x + y)(2x – y)

Lời giải:

a, (5x – 2y)(x² – xy + 1)

= 5x³ – 5x²y + 5x – 2x²y + 2xy² – 2y

= 5x³ – 7x²y + 5x + 2xy² – 2y

b, (x – 1)(x + 1)(x + 2)

= (x² + x – x – 1)(x + 2)

= (x² – 1)(x + 2)

= x³ + 2x² – x – 2

c, 12 x²y² (2x + y)(2x – y)

= 12 x²y² (4x² – 2xy + 2xy – y²)

= 12 x²y² (4x² – y²)

= 2x⁴y² – 12x²y⁴

Bài 2: Thực hiện phép tính

a, (1/2 x – 1) (2x – 3)

b, (x – 7)(x – 5)

c, (x – 1/2 )(x + 1/2 )(4x – 1)

Lời giải:

a, (1/2 x – 1) (2x – 3)

= x² – 3/2 x – 2x + 3

= x² – 7/2 x + 3

b, (x –7)(x –5)

= x² – 5x – 7x + 3/5

= x² – 12x + 3/5

c, (x – 1/2 )(x + 1/2 )(4x – 1)

= (x² + 1/2 x – 1/2 x – 1/4 )(4x – 1)

= (x² – 1/4 )(4x – 1)

= 4x³ – x² – x + 1/4

Bài 3: Chứng minh:

a, (x – 1)(x² + x + 1) = x³ – 1

b, (x³ + x²y + xy² + y³)(x – y) = x⁴ – y⁴

Lời giải:

a, Ta có: (x – 1)(x² + x +1)

= x³ + x² + x – x² – x – 1

= x³ – 1

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b, Ta có: (x³ + x²y + xy² + y³)(x – y)

= x⁴ + x³y + x²y² + xy³ – x³y – x²y² – xy³ – y⁴

= x4 – y4

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Bài 4: Cho a và b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 3 dư 1; b chia cho 3 dư 2. Chứng minh rằng ab chia cho 3 dư 2.

Lời giải:

Ta có: a chia cho 3 dư 1 ⇒ a = 3q + 1 (q ∈N)

b chia cho 3 dư 2 ⇒ b = 3k + 2 (k ∈N)

A.b = (3q +1)(3k + 2) = 9qk + 6q + 3k +2

Vì 9 ⋮ 3 nên 9qk ⋮ 3

Vì 6 ⋮ 3 nên 6q ⋮ 3

Vậy a.b = 9qk + 6q + 3k + 2 = 3(3qk + 2q + k) +2 chia cho 3 dư 2.

Bài 5: Chứng minh rằng biểu thức n(2n – 3) – 2n(n + 1) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

Lời giải:

Ta có: n(2n – 3) – 2n(n + 1) = 2n² – 3n – 2n² – 2n = – 5n

Vì -5 ⋮ 5 nên -5n ⋮ 5 với mọi n ∈ Z .

Bài 6: Tìm x, biết:

(12x – 5)(4x – 1) + (3x – 7)(1 -16x) = 81.

Đáp án và hướng dẫn giải:

(12x – 5)(4x – 1) + (3x – 7)(1 -16x) = 81

4x(12x-5) – (12x-5) + (3x-7) -16x (3x-7) =81

48x² – 20x – 12x  + 5 + 3x – 7 – 48x² + 112x = 81

83x – 2 = 81

83x = 83

x = 1

Bài 7: Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 192.

Đáp án và hướng dẫn giải:

Gọi ba số chẵn liên tiếp là a, a + 2, a + 4.

Ta có: (a + 2)(a + 4) – a(a + 2) = 192

a² + 4a + 2a + 8 – a² – 2a = 192

4a = 192 – 8 = 184

a = 46

Vậy ba số đó là 46, 48, 50.

Cách khác giải bài 14:

Gọi ba số tự nhiên chẵn liên tiếp là 2x + 2 và 2x + 4 với x ∈ N

Ta có: (2x + 2)(2x +4) = 2x(2x + 2) + 192

<=> 2x(2x + 2) + 4(2x + 2) = 2x(2x + 2) + 192

<=> 4x² + 4x + 8x + 8 = 4x² + 4x + 192

<=> 4x² + 4x + 8x – 4x² – 4x = 192 – 8

<=> 8x = 184

=> x = 184 : 8 = 23

Các số tự nhiên cần tìm là: 46; 48 và 50

Bài 8: Làm tính nhân:

a) (1/2x + y)(1/2x + y);

b) (x -1/2y)(x – 1/2y)

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) (1/2x + y)(1/2x + y) = 1/2x . 1/2x +1/2 x . y + y . 1/2x + y . y

= 1/4x² +1/2 xy +1/2 xy + y²

=1/4x² + xy + y²

b) (x – 1/2y)(x – 1/2y) = x . x + x(-1/2y) + (-1/2y . x) + (- 1/2y)(-1/2y)

= x² – 1/2xy – 1/2xy + 1/4y²

= x² – xy + 1/4y²

Học toán thế nào cho hiệu quả?

Toán học là bộ môn có lượng kiến thức rất lớn. Các mảng kiến thức có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Vì vậy, chỉ cần một phần kiến thức hổng sẽ cản trở rất nhiều đến việc tiếp thu các phần kiến thức tiếp theo. Học toán như thế nào hiệu quả? Itoan mách bạn một số bí quyết học toán được khuyến khích sử dụng như:

• Chuẩn bị bài trước khi đến lớp. Tập trung nghe thầy cô giảng bài.
• Không nên chỉ tập trung vào phần bài tập mà xem nhẹ phần lý thuyết
• Liên tục thực hành, làm quen và rèn luyện với nhiều dạng bài tập, nhiều phương pháp giải để tích lũy kinh nghiệm.
• Học từ dễ đến khó, làm quen với các dạng từ cơ bản trước, sau đó mời đến nâng cao dần dần.
• Tóm tắt đề bài trước khi giải để dễ dàng nhận biết dữ liệu của đề, tránh bỏ sót chi tiết quan trọng
• Ghi chú riêng với những lỗi sai, cách khắc phục chúng để tránh lặp lại ở những lần sau.

Trên đây là những kiến thức lý thuyết và bài tập về nhân đa thức với đa thức toán 8 mà chúng tôi muốn chia sẻ. Hy vọng bài viết bổ ích đã giúp các bạn có những giây phút khám phá nhân đa thức với đa thức cùng itoan thật thú vị và hiệu quả. Để tìm hiểu thêm kiến thức về nhiều môn học khác nữa, hãy truy cập website nhé! Chúc các bạn đạt kết quả học tập thật tốt!

Xem thêm:

• Nhân đơn thức với đa thức – Bứt phá Toán 8 cùng Itoan
• Những hằng đẳng thức đáng nhớ – Lý thuyết & Bài tập