Phương trình đường thẳng – Bài tập & Lời giải Toán lớp 10

Ở các bài trước, chúng ta đã được làm quen với vecto và hệ trục tọa độ. Trong bài học hôm nay: Phương trình đường thẳng, chúng ta sẽ tìm hiểm về mối liên quan giữa vecto và đường thẳng, đường thẳng và điểm, góc…. Bài giảng được iToan biên soạn bám sát theo chương trình sách giáo khoa Toán 10 phần hình học, mời các em theo dõi!

Mục tiêu bài giảng

Qua bài học này các em cần nắm vững các kiến thức sau:

• Định nghĩa và tính chất của: Vecto chỉ phương, vecto pháp tuyến của đường thẳng
• Viết đường phương trình tham số, phương trình tổng quát của một đường thẳng
• Quan hệ giữa đường thẳng và điểm, đường thẳng với đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng

Nội dung lý thuyết Phương trình đường thẳng

Vecto chỉ phương của đường thẳng

• Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng D nếu u1 và giá của  u song song hoặc trùng với D .

🌼Nhận xét: 

• Nếu u→ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng D thì k.u→(k≠0) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng D . Do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
• Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Phương trình tham số của đường thẳng

a. Định nghĩa

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng D đi qua điểm M0(x0;y0) và có VTCP u=(a,b) , khi đó phương trình tham số của đường thẳng D có dạng

Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng D .

Ví dụ 1: Cho đường thẳng D có phương trình {x=5−6ty=2+8t

Khi đó

Vectơ (u→Δ)=(−6;8) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng D .

Thay t=0 ta có M0=(5;2) là một điểm trên đường thẳng D .

b. Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng

Nếu đường thẳng D có vectơ chỉ phương u=a;b) với  a≠0 thì  có hệ số góc k=ba

Ví dụ 2: Đường thẳng D có vectơ chỉ phương u=(−1;3–√ có hệ số góc k=3–√−1=−3–√

Ví dụ 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm A(2;3) và B(3;1) . Tính hệ số góc của d.

Giải

Vì d đi qua A và B nên d có vectơ chỉ phương là AB−→−=(1;−2)

Phương trình tham số của d là {x=2+ty=3−2t

Hệ số góc của d là k=ba=−21=−2

Vecto pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng D nếu n1 0 và n vuông góc với vectơ chỉ phương của D .

Nhận xét:

• Nếu n→ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng D thì k.u→(k≠0) cũng là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng  . Do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.
• Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
• Nếu u=(a;b) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng D thì n=(b;−a)  là một vectơ pháp tuyến của D .
• Nếu u=(A;B) là một vectơ pháp tuyến của D thì u=(B;−A) là một vectơ chỉ phương của D .

Phương trình tổng quát của đường thẳng

a. Định nghĩa

Phương trình Ax+By+C=0 với A và B không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng D .

Đường thẳng D đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến n=A;B) có phương trình tổng quát là

A(x−x0)+B(y−y0)=0

Ví dụ 4: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng D đi qua hai điểm A(2;2) và B(4;3) .

Giải

Vì D đi qua A và B nên d có vectơ chỉ phương là AB−→−=(2;1)

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng D là n→=(−1;2)

Phương trình tổng quát của đường thẳng D là:

(−1).(x−2)+2(y−2)=0⇔x−2y+2=0

c. Các trường hợp đặc biệt

Cho đường thẳng D có phương trình Ax+By+C=0  (1)

• Nếu A=0 phương trình (1) trở thành y=−CB .Khi đó đường thẳng  D vuông góc với trục Oy tại điểm (0;−CB)

• Nếu B=0 phương trình (1) trở thành y=−CA. Khi đó đường thẳng D vuông góc với trục Ox tại điểm (−CA;0)

• Nếu C=0 phương trình (1) trở thành Ax+By=0 Khi đó đường thẳng D đi qua gốc tọa độ O.

• Nếu A,B,C đều khác 0 thì ta có thể đưa phương trình tổng quát về dạng

xa0+ybo=1  với a0=−CA,b0=−CB

Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt Ox  và 0y lần lượt tại M(a0;0) và N(0;b0)

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát là

D1:A1x+B1y+C1=0 và D2:A2x+B2y+C2=0

Tọa độ giao điểm của D1 và D2 là nghiệm của hệ phương trình:

A1x+B1y+C1=0

A2x+B2y+C2=0

• Nếu hệ có một nghiệm (x0;y0) thì D1 cắt D2 tại điểm M0(x0;y0)
• Nếu hệ có vô số nghiệm thì D1 trùng với D2 .
• Nếu hệ vô nghiệm thì D1 và D2  không có điểm chung, hay  D1 song song với  D2

Nhân xét: Ta có thể xét vi trí tương đối của hai đường thẳng Δ1 và Δ2 bằng cách sau:
– Nếu A1/A2=B1/B2=C1/C2 thì Δ1 trùng với Δ2.
– Nếu A1/A2=B1/B2≠C1/C2 thì Δ1 song song Δ2.
– Nếu A1/A2≠B1/B2 thì Δ1 cắt Δ2.

Ví dụ 5: Xét vị trí tương đối và tìm giao điểm nếu có của 2 đường thẳng:

2x−5y+3=0$và$5x+2y−3=0
Giải
Ta có: 25≠−52 nên hai đường thằng cắt nhau
Toa đô giao điểm là nghiệm của hê {2x−5y+3=0

                                                          5x+2y−3=0

⇔x=9/29, y=21/29
Vây hai đường thẳng cắt nhau tai M(9/29;21/29).

Góc giữa hai đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Giải bài tập SGK Phương trình đường thẳng

Bài 1 (trang 80 SGK Hình học 10):

Lập phương trình tham số của đường thằng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm M(2; 1) và có vec tơ chỉ phương  ;

b) d đi qua điểm M(–2; 3) và có vec tơ pháp tuyến  .

Lời giải

a) Phương trình tham số của d là:

b) d nhận  là 1 vec tơ pháp tuyến

⇒ d nhận  là 1 vec tơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Bài 2 (trang 80 SGK Hình học 10):

Lập phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong mỗi trường hợp sau:

a) Δ đi qua M(–5; –8) và có hệ số góc k = –3;

b) Δ đi qua hai điểm A(2; 1) và B(–4; 5).

a) Δ đi qua M(–5; –8) và có hệ số góc k = –3;

b) Δ đi qua hai điểm A(2; 1) và B(–4; 5).

Lời giải

a) Phương trình đường thẳng Δ đi qua M(–5; –8) và có hệ số góc k = –3 là:

y = –3.(x + 5) – 8 ⇔ 3x + y + 23 = 0.

b) Ta có: A(2; 1), B(–4; 5) ⇒ 

Δ đi qua hai điểm A(2; 1) và B(–4; 5)

⇒ Δ nhận  là một vtcp

⇒ Δ nhận  là một vtpt.

Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ là:

(Δ) : 4(x – 2) + 6(y -1) = 0

Hay 4x + 6y – 14 = 0 ⇔ 2x + 3y – 7 = 0.

Bài 3 (trang 80 SGK Hình học 10):

Cho tam giác ABC biết A(1; 4), B(3; -1) và C(6; 2).

a, Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và CA.

b, Lập phương trình tổng quát của đường cao AH và trung tuyến AM.

Lời giải

+ Lập phương trình đường thẳng AB:

Đường thẳng AB nhận  là 1 vtcp ⇒ AB nhận  là 1 vtpt

Mà A(1; 4) thuộc AB

⇒ PT đường thẳng AB: 5(x- 1) + 2(y – 4) = 0 hay 5x + 2y – 13 = 0.

+ Lập phương trình đường thẳng BC:

Đường thẳng BC nhận  là 1 vtcp ⇒ BC nhận  là 1 vtpt

Mà B(3; –1) thuộc BC

⇒ Phương trình đường thẳng BC: 1(x – 3) – 1(y + 1) = 0 hay x – y – 4 = 0.

+ Lập phương trình đường thẳng CA:

Đường thẳng CA nhận  là 1 vtcp ⇒ CA nhận  là 1 vtpt

Mà C(6; 2) thuộc CA

⇒ Phương trình đường thẳng AC: 2(x – 6) + 5(y – 2) = 0 hay 2x + 5y – 22 = 0.

b) + AH là đường cao của tam giác ABC ⇒ AH ⊥ BC

⇒ Đường thẳng AH nhận  là 1 vec tơ pháp tuyến

Mà A(1; 4) thuộc AH

⇒ Phương trình AH: 1(x – 1) + 1(y – 4) = 0 hay x + y – 5 = 0.

+ Trung điểm M của BC có tọa độ  hay 

Đường thẳng AM nhận  là 1 vtcp

⇒ AM nhận  là 1 vtpt

Mà A(1; 4) thuộc AM

⇒ Phương trình đường thẳng AM: 1(x – 1) + 1(y – 4) = 0 hay x + y – 5 = 0

Bài 4 (trang 80 SGK Hình học 10):

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(4; 0) và điểm N(0; -1).

Lời giải

Đường thẳng MN nhận  là 1 vtcp

⇒ MN nhận  là 1 vtpt

Mà M(4; 0) thuộc đường thẳng MN

⇒ Phương trình đường thẳng MN: 1(x – 4) – 4(y – 0) = 0 hay x – 4y – 4 = 0.

Bài 5 (trang 80 SGK Hình học 10):

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ sau đây:

Lời giải

Cách 1: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình:

a) Xét hệ phương trình

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên (d₁) cắt (d₂).

b) Xét hệ phương trình

Hệ phương trình trên vô nghiệm nên hai đường thẳng trên song song.

c) Xét hệ phương trình

Hệ phương trình trên có vô số nghiệm nên hai đường thẳng trùng nhau.

Bài 6 (trang 80 SGK Hình học 10):

Cho đường thẳng d có phương trình tham số: 

Tìm điểm M thuộc đường thẳng d và cách điểm A(0 ; 1) một khoảng bằng 5.

Lời giải

M ∈ d nên M có tọa độ: M(2 + 2t; 3 + t).

Khi đó : AM² = (x_M – x_A)² + (y_M – y_A)² = (2+2t)² + (2 + t)² = 5t² + 12t + 8.

Ta có : AM = 5 ⇔ AM² = 25

⇔ 5t² + 12t + 8 = 25

⇔ 5t² + 12t – 17 = 0

⇔ t = 1 hoặc t = –17/5.

+ Với t = 1 thì M(4 ; 4).

+ Với t = –17/5 thì M(–24/5 ; –2/5).

Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M(4 ; 4) và M(–24/5 ; –2/5).

Bài 7 (trang 81 SGK Hình học 10):

Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình: d₁: 4x – 2y + 6 = 0 và d₂: x – 3y + 1 = 0

Lời giải

Với d₁: 4x – 2y + 6 = 0 có vecto pháp tuyến là: n₁→(4;-2)

và d₂: x – 3y + 1 = 0 có vecto pháp tuyến là: n₂→(1;-3) ; ta có :

Bài 8 (trang 81 SGK Hình học 10):

Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:

a, A(3; 5) và Δ : 4x + 3y +1 = 0

b, B(1; -2) và d: 3x – 4y -26 = 0

c, C(1; 2) và m: 3x + 4y -11 = 0

Lời giải

Bài 9 (trang 81 SGK Hình học 10):

Tìm bán kính của đường tròn tâm C(-2; -2) tiếp xúc với đường thẳng Δ : 5x + 12y -10 = 0.

Lời giải

Vì đường tròn tâm C tiếp xúc với Δ nên R = d(C, Δ).

Do đó ta có :

Bài tập tự luyện Phương trình đường thẳng

Các bài tập tự luyện sẽ giúp em ôn luyện, củng cố kiến thức:

Phần câu hỏi:

Câu 1: Cho phương trình: ax+by+c=0(1) với a^2+b^2>0 . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. (1) là phương trình tổng quát của đường thẳng có vectơ pháp tuyến là n⃗ =(a;b) .

B. a=0 thì (1) là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox .

C. b=0 thì (1) là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với trục Oy .

D. Điểm thuộc đường thẳng M0(x0;y0) thuộc đường thẳng (1) khi và chỉ khi cx0+by0+c=0

Câu 2: Cho đường thẳng (d): 2x+3y−4=0 . Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của (d)?

A. n⃗ =(3;2) .

B. n⃗ =(−4;−6).

C. n⃗ =(2;−3).

D. n⃗ =(−2;3).

Câu 3: Cho đường thẳng (d) 3x−7y+15=0 . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. u⃗ =(7;3) là vecto chỉ phương của (d) .

B. (d) có hệ số góc k=37

C. (d) không đi qua góc tọa độ.

D. (d) đi qua hai điểm và M(3,0) và N(5;0) .

Câu 4: Cho đường thẳng (d) x−2y+1=0 . Nếu đường thẳng (Δ) đi qua M(1,−1) và song song với (d) thì (Δ) có phương trình

A. x−2y−3=0

B. x−2y+5=0

C. x−2y+3=0

D. x+2y+1=0

1.D     2.B     3.D     4.A

Lời kết

Chương trình Toán lớp 10 mở ra nhiều chuyên đề kiến thức mới mẻ. Nếu em còn nhiều khó khăn trong học tập, hãy để các thầy cô giáo Toppy giúp các em. Toppy có nhiều khóa học từ cơ bản đến nâng cao, nhiều bài tập và đề thi cho các em ôn tập trước mỗi kì thi.

Cùng Toppy học tốt em nhé!

>> Xem thêm các bài giảng khác:

• Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
• Giải hệ phuương trình bằng phương pháp cộng đại số
• Hai đường thẳng song song