Phương trình lượng giác cơ bản cần nhớ – Bài tập Đại số 10

5/5 - (4 bình chọn)

Ở bài trước chúng ta đã được học về các hàm số lượng giác, bài hôm nay, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu một số phương trình lương giác cơ bản cần ghi nhớ. Bài giảng: Phương trình lượng giác cơ bản – Đại số 10 được iToan biên soạn dựa theo bài học sách giáo khoa, với lý thuyết và giải bài tập chi tiết hơn, hy vọng sẽ giúp các em nắm được kiến thức cơ bản và thành thạo làm các bài tập liên quan.

Nội dung bài học Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình sin x= a

CỤC NHỎ XINH 2 Xét phương trình sinx=a (1)

  • Trường hợp |a|>1

Phương trình (1) vô nghiệm.

  • Trường hợp |a|1

Gọi α (số đo radian) là một cung thỏa mãn sinα=a.

Phương trình lượng giác

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện {π2απ2sinα=a thì ta viết α=arcsina.

Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:

Phương trình lượng giác

CỤC NHỎ XINH 2 Chú ý

a. Phương trình sinx=sinα  với α là một số cho trước, có các nghiệm là

x=α+k2π,kZ

x=πα+k2π,kZ

Tổng quát

sinf(x)=sing(x)[f(x)=g(x)+k2π,kZf(x)=πg(x)+k2π,kZ

b. Phương trình sinx=sinβ0 có các nghiệm là

x=β0+k3600,kZ

x=1800β0+k3600,kZ

c. Trong các công thức về nghiệm của phương trình lượng giác không dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.

d. Các trường hợp đặc biệt

sinx=0x=kπ(kZ)

sinx=1x=π2+k2π(kZ)

sinx=1x=π2+k2π(kZ)

Phương trình cos x= a

CỤC NHỎ XINH 2 Xét phương trình cosx=a (2)

  • Trường hợp |a|>1

Phương trình (2) vô nghiệm.

  • Trường hợp |a|1

Gọi α (radian) là một cung thỏa mãn cosα=a.

Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là

Phương trình lượng giác

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện {0απcosα=a thì ta viết α=arccosa.

Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:

Phương trình lượng giác

CỤC NHỎ XINH 2 Chú ý

a. Phương trình cosx=cosα , với α là một số cho trước, có các nghiệm là

x=±α+k2π,kZ

Tổng quát

cosf(x)=cosg(x)f(x)=±g(x)+k2π,kZ

b. Phương trình cosx=cosβ0 có các nghiệm là

x=±β0+k3600,kZ

c. Các trường hợp đặc biệt

cosx=0x=π2+kπ(kZ)

cosx=1x=k2π(kZ)

cosx=1x=π+k2π(kZ)

cosx=±1cos2x=1sin2x=0sinx=0x=kπ(kZ)

Phương trình tan x = a

CỤC NHỎ XINH 2 Điều kiện của phương trình là xπ2+kπ,(kZ)

Khi đó phương trình có nghiệm là

Phương trình lượng giác

CỤC NHỎ XINH 2 Chú ý

a. Phương trình tanx=tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

x=α+kπ,kZ

Tổng quát

tanf(x)=tang(x)f(x)=g(x)+kπ,kZ

b. Phương trình tan⁡ x=tanβ0có các nghiệm là

x=β0+k1800,kZ

c. Các trường hợp đặc biệt:

tanx=0x=kπ(kZ)

tanx=±1x=±π4+kπ(kZ)

Phương trình cot x=a

CỤC NHỎ XINH 2 Điều kiện của phương trình là xkπ,(kZ)

Khi đó phương trình có nghiệm là

Phương trình lượng giác

CỤC NHỎ XINH 2 Chú ý

a. Phương trình cotx=cotα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

x=α+kπ,kZ

Tổng quát

cotf(x)=cotg(x)f(x)=g(x)+kπ,kZ

b. Phương trình cotx=cotβ0 có các nghiệm là:

x=β0+k1800,kZ

c. Các trường hợp đặc biệt:

cotx=0x=π/2+kπ(kZ)

cotx=±1x=±π/4+kπ(kZ)

Giải bài tập SGK trang 28 Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

Giải bài 1 trang 28 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Phương trình lượng giác

Hàm số lượng giác

Bài 2 (trang 28 SGK Đại số 11): 

Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?

Lời giải:

Hàm số lượng giác

Bài 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

Giải bài 3 trang 28 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Phương trình lượng giác

Vậy phương trình có họ nghiệm Giải bài 3 trang 28 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

b. cos 3x = cos 12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

Vậy phương trình có họ nghiệm x = ±4º + k.120º (k ∈ Z)

Phương trình lượng giác

Vậy phương trình có hai họ nghiệm Giải bài 3 trang 28 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Phương trình lượng giác

Bài 4 (trang 29 SGK Đại số 11): 

Giải phương trình Giải bài 4 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

+ Điều kiện: sin 2x ≠ 1.

Giải bài 4 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

+ Xét k lẻ. Đặt k = 2n + 1

Giải bài 4 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 4 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 ∀ n (TMDK).

+ Xét k chẵn. Đặt k = 2n

Giải bài 4 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 4 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 ∀ n (Không TMDK).

Vậy phương trình có họ nghiệm Giải bài 4 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 5 (trang 29 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

Giải bài 5 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

a. (Điều kiện : x – 15º ≠ 90º + k.180º với ∀ k ∈ Z)

Giải bài 5 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

⇔ x – 15º = 30º + k180º , k ∈ Z

⇔ x = 45º + k.180º, k ∈ Z

Vậy phương trình có họ nghiệm x = 45º + k.180º (k ∈ Z).

b. Điều kiện: 3x – 1 ≠ kπ ∀ k ∈ Z

Giải bài 5 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Mọi giá trị thuộc họ nghiệm đều thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình có họ nghiệm Giải bài 5 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

* Chú ý: Nếu các bạn sử dụng máy tính, kết quả cho được là Giải bài 5 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 thay vì Giải bài 5 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Các bạn sử dụng kết quả nào cũng đúng vì Giải bài 5 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 và Giải bài 5 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 hơn kém nhau π = 1 chu kì của hàm tan.

c. cos2x.tanx = 0

(Điều kiện xác định: Giải bài 5 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 ).

Giải bài 5 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có hai họ nghiệm Giải bài 5 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z).

d. sin3x.cotx = 0

(Điều kiện xác định: x ≠ kπ ∀ k ∈ Z).

Giải bài 5 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Kết hợp với điều kiện ta được Giải bài 5 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có các họ nghiệm Giải bài 5 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 6 (trang 29 SGK Đại số 11): 

Với giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = tan(π/4 – x) và y = tan 2x bằng nhau?

Lời giải:

Giải bài 6 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 6 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Kết hợp với điều kiện xác định suy ra Giải bài 6 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z)

Vậy với Giải bài 6 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z) thì Giải bài 6 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 7 (trang 29 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

a. sin3x – cos5x = 0 ;

b. tan3x.tanx = 1

Lời giải:

a. sin3x – cos5x = 0

Giải bài 7 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có hai họ nghiệm Giải bài 7 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z).

b. tan3x.tanx = 1 (Điều kiện: Giải bài 7 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 )

Giải bài 7 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Các nghiệm thuộc họ nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình có họ nghiệm Giải bài 7 trang 29 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z).

Bài tập tự luyện Phương trình lượng giác

Làm các bài tập tự luyện giúp em rèn luyện tư duy giải nhanh các bài trắc nghiệm:

Phần câu hỏi

Câu 1:

Phương trình lượng giác

Câu 2:

Phương trình lượng giác

 

Câu 3:

Phương trình lượng giác

Câu 4:

Phương trình lượng giác

Câu 5:

Phương trình lượng giác

Phần đáp án 

1.B    2.A    3. A  4.B    5.B

Lời kết

Sau bài học này, các em cần ghi nhớ các phương trình lượng giác cơ bản đã được giới thiệu bên trên và luyện tập các bài tập ứng dụng. Để giải quyết các thắc mắc và khó khăn trong các môn học, đặc biệt là môn Toán, các em có thể tìm kiếm Toppy. Các thầy cô Toppy luôn nỗ lực mang đến cho các em những bài giảng hay, dễ hiểu nhất, giúp các em tiến bộ hơn từng ngày.

Việc học không khó, hãy để Toppy lo !

>> Xem thêm:

Minh Phương

Là 1 giáo viên Toán tôi luôn nỗ lực không ngừng để mang đến cho học sinh những bài học sinh động, lý thú, giúp các em vững vàng kiến thức và say mê, yêu thích môn Toán hơn.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *