Quan hệ giữa 3 cạnh của tam giác- Bất đẳng thức tam giác – Toán 7
Tam giác là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình hình học lớp 7. Các đỉnh, cạnh, góc trong tam giác đều có mối liên hệ với nhau. Quan hệ giữa ba cạnh trong tam giác tạo thành bất đẳng thức tam giác. Bài giảng hôm nay của iToan sẽ mang đến cho các em các kiến thức thú vị và bổ ích về 3 cạnh của tam giác với những ví dụ, hướng dẫn giải chi tiết. Cùng bắt đầu nhé!
Lý thuyết Quan hệ giữa 3 cạnh của tam giác
Bất đẳng thức tam giác
Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Ví dụ: Cho tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau:
-
-
-
- (AB+AC)>BC hay (c+b)>a;
- (AB+BC)>AC hay (c+a)>b;
- (AC+BC)>AB hay (b+a)>c.
-
-
Hệ quả của bất đẳng thức tam giác
Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
Ví dụ: Trong tam giác ABC, ta có:
|AC−AB|<BC hay |b−c|<a;
|AB−BC|<AC hay |c−a|<b;
|BC−AC|<AB hay |a−b|<c.
Nhận xét: Nếu xét đồng thời cả tổng và hiệu độ dài hai cạnh của một tam giác thì quan hệ giữa các cạnh của nó còn được phát biểu như sau:
Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.
Ví dụ: Trong tam giác ABC, với cạnh BC ta có:
|AC−AB|<BC<(AC+AB) hay |b−c|<a<(b+c)
Lời giải sách giáo khoa Quan hệ giữa 3 cạnh của tam giác- Bất đẳng thức tam giác
Bài 15 trang 63 SGK Toán 7:
Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác. Trong các trường hợp còn lại, hãy thử dựng tam giác có độ dài ba cạnh như thế:
a) 2cm, 3cm, 6cm
b) 2cm, 4cm, 6cm
c) 3cm, 4cm, 6cm
Bài Làm:
a) Ta có: 3 – 2 < 6 < 3 + 2 bất đẳng thức này sai nên ba độ dài 2cm, 3cm, 6cm không là ba cạnh của tam giác.
b) Vì 6 = 2 + 4 nên ba độ dài là 2cm, 4cm, 6cm không là 3 cạnh của một tam giác
c) 4 – 3 < 6 < 4 + 3 bất đẳng thức đúng nên ba độ dài 3cm, 4cm, 6cm là 3 cạnh của một tam giác.
Bài 16: Trang 63 – SGK Toán 7
Cho tam giác ABC với hai cạnh BC = 1cm, AC = 7cm.
Hãy tìm độ dài cạnh AB, biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm). Tam giác ABC là tam giác gì?
Bài Làm:
Theo bất đẳng thức tam giác ABC ta có:
AC – BC < AB < AC + BC
Thay BC = 1cm, AC = 7cm, ta được:
7 – 1 < AB < 7 + 1
6 < AB < 8 (1)
Vì độ dài AB là một số nguyên (cm) thỏa mãn (1) nên AB = 7cm.
Vì AB = AC = 7cm nên ΔABC cân tại A.
Bài 17: Trang 63 – SGK Toán 7
Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC.
a) So sánh MA với MI + IA, từ đó chứng minh MA + MB < IB + IA.
b) So sánh IB với IC + CB, từ đó chứng minh IB + IA < CA + CB.
c) Chứng minh bất đẳng thức MA + MB < CA + CB.
Bài Làm:
a) Trong ΔAMI ta có: MA < MI + IA (bất đẳng thức tam giác)
Cộng MB vào hai vế ta được:
MA + MB < MB + MI + IA
Vì MB + MI = IB (do M nằm giữa B và I) nên MA + MB < IB + IA (1) (đpcm)
b) Trong ΔBIC ta có: IB < IC + CB (bất đẳng thức tam giác)
Cộng IA vào hai vế ta được:
IB + IA < IA + IC + CB
Vì IA + IC = CA (do I nằm giữa A và C) nên IB + IA < CA + CB (2) (đpcm)
c) Từ (1) và (2) và theo tính chất bắc cầu ta suy ra:
MA + MB < CA + CB (đpcm)
Bài 18: Trang 63 – SGK Toán 7
Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau:
a) 2cm; 3cm; 4cm
b) 1cm; 2cm; 3,5cm
c) 2,2cm; 2cm; 4,2cm
Hãy vẽ tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là một trong các bộ ba ở trên (nếu vẽ được). Trong trường hợp không vẽ được hãy giải thích.
Bài Làm:
a) Ba độ dài thỏa mãn bất đẳng thức: 3 – 2 < 4 < 2 + 3 nên chúng là ba cạnh của một tam giác.
Vẽ tam giác:
- Vẽ đoạn thẳng BC = 4cm.
- Lấy B làm tâm vẽ cung tròn có bán kính bằng 3cm.
- Lấy C làm tâm vẽ cung tròn có bán kính bằng 2cm.
- Hai cung tròn cắt nhau tại hai điểm A và A’. Ta được ΔABC và ΔA’BC là hai tam giác cần vẽ.
b) Ba độ dài không là ba cạnh của tam giác vì bất đẳng thức 3,5 < 1 + 2 sai.
c) Ba độ dài không là ba cạnh của tam giác vì bất đẳng thức 4 < 2,2 + 2 sai.
Bài 19: Trang 63 – SGK Toán 7
Tìm chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó là 3,9cm và 7,9cm.
Bài Làm:
Tam giác ABC cân tại A.
Giả sử AB = AC = 3,9 (cm), BC = 7,9 (cm)
Ta có: AB + AC = 3,9 + 3,9 = 7,8 < 7,9 = BC (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)
Vậy cạnh bên không thể là 3,9 cm.
Suy ra AB = AC = 7,9 (cm) và BC = 3,9 (cm)
Chu vi tam giác ABC là:
P = AB + AC + BC = 7,9 + 7,9 + 3,9 = 19,7 (cm)
Bài 20: Trang 64 – SGK Toán 7
Một cách chứng minh khác của bất đẳng thức tam giác:
Cho tam giác ABC. Giả sử BC là cạnh lớn nhất. Kẻ đường vuông góc AH đến đường thẳng BC (H thuộc BC).
a) Dùng nhận xét về cạnh lớn nhất trong tam giác vuông ở Bài 1 để chứng minh AB + AC > BC.
b) Từ giả thiết về cạnh BC, hãy suy ra hai bất đẳng thức tam giác còn lại.
Bài Làm:
a)
Trong ΔAHC vuông tại H ta có: HC < AC (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
Trong ΔAHB vuông tại H ta có: HB < AB (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức ta có:
HB + HC < AC + AB
Vì HB + HC = BC (do H nằm giữa B và C) nên BC < AC + AB (1)
b) Tam giác ABC có BC là cạnh lớn nhất (gt)
nên suy ra AB < BC và AC < BC.
Vì AB, AC > 0, ta cộng thêm AC (hoặc AB) vào vế phải của bất đẳng thức
nên AB < BC + AC; AC < BC + AB (đpcm)
Bài 21: Trang 64 – SGK Toán 7
Một trạm biến áp và một khu dân cư được xây dựng cách xa hai bờ sông tại hai địa điểm A và B (h.19).
Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm C để dụng một cột mắc dây đưa điện từ trạm biến áp về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn là ngắn nhất.
Bài Làm:
Để độ dài đường dây là ngắn nhất thì C nằm trên đoạn thẳng AB, tức là:
AC + BC = AB.
Thật vậy, nếu C nằm ngoài đoạn thẳng AB thì ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác ABC.
Theo định lý tổng hai cạnh trong tam giác ta có:
AC + BC > AB
Vậy để độ dài đường dây là ngắn nhất thì C nằm trên đoạn thẳng AB.
Bài 22: Trang 64 – SGK Toán 7
Ba thành phố A, B, C là ba đỉnh của một tam giác; biết rằng: AC = 30km, AB = 90km (h.20).
a) Nếu đặt ở C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km thì thành phố B có nhận được tín hiệu không? Vì sao?
b) Cũng câu hỏi như vậy với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 120km?
Bài Làm:
Trong ΔABC ta có:
AB – AC < BC < AB + AC (Bất đẳng thức trong tam giác)
Thay số ta được: 90 – 30 < BC < 90 + 30
hay 60 < BC < 120
a) Vì BC > 60 nên nếu đặt máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 60 km thì B không nhận được tín hiệu.
b) Vì BC < 120 nên nếu đặt máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 120 km thì B có nhận được tín hiệu.
Câu hỏi nâng cao Quan hệ 3 cạnh của tam giác- Bất đẳng thức tam giác:
Phần câu hỏi
Câu 1: Cho △ABC, chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
A. AB+BC>AC
B. BC−AB<AC
C. AB−AC>BC
D. BC−AB<AC<BC+AB
Câu 2:
Bộ ba độ dài đoạn thẳng sau có là ba cạnh của tam giác không:
13dm;11dm;11dm
A. Có
B. Không
Câu 3:
Bộ ba độ dài đoạn thẳng sau có là ba cạnh của tam giác không ?
27dm;34dm;40dm
A. Có
B. Không
Câu 4: Tính chu vi tam giác cân ABC biết rằng: AB=25cm,AC=12cm
A. 62 cm
B. 52 cm
C. 50 cm
Câu 5: Cho tam giác ABC có M là một điểm nằm trong tam giác ABC, BM cắt AC tại D. Khi đó
A. MB+MC=DB+DC
B. MB+MC<DB+DC
C. MB+MC>DB+DC
Phần đáp án:
1.C 2.A 3.A 4.A 5.B
Lời kết
Bài giảng kết thúc tại đây. Cùng xem thêm nhiều bài giảng Toán lớp 7 khác trên Toppy để ôn tập và nâng cao kiến thức nhé!
>> Xem thêm:
