Tứ giác nội tiếp đường tròn – itoan đồng hành cùng bạn học tốt Toán hình

5/5 - (5 bình chọn)

Tứ giác nội tiếp đường tròn là một trong những chương trình hình học lớp 9 vô cùng quan trọng và luôn bắt gặp trong những kỳ thi. Để hiểu được rõ hơn về định nghĩa, các định lý, cách chứng minh cũng như các bài toán về chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn. Hãy cùng itoan tìm hiểu qua bài giảng chi tiết ngay sau đây.

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa 

tứ giác có 4 đỉnh nằm trên cùng 1 đường tròn.

Tứ giác nội tiếp đường tròn - itoan đồng hành cùng bạn học tốt Toán hình
Tứ giác nội tiếp đường tròn – itoan đồng hành cùng bạn học tốt Toán hình

2. Định lí:

Định lý:

  • Trong 1 tứ giác nằm trong đường tròn, tổng số đo của 2 góc đối diện là bằng nhau.

Ví dụ minh họa: 

⇒ Ta có góc A + góc C= 180º và góc B + góc D= 180º

3. Định lí đảo:

Nếu 1 tứ giác mà có tổng số của đo 2 góc đối diện là 180º thì tứ giác đó là tứ giác nằm trong đường tròn.

4. 1 số dấu hiệu để nhận biết:

Để nhận biết và chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn cần dựa vào một số dấu hiệu sau:

  • Tứ giác có tổng của 2 góc đối là 180º
  • Tứ giác mà có góc ngoài của 1 đỉnh bằng với góc trong của đỉnh đối với nó
  • Tứ giác mà có 4 đỉnh đều cách đều 1 điểm (có thể xác định được). Điểm đó thông thường sẽ là tâm của đường tròn ngoại tiếp.
  • Tứ giác mà có 2 đỉnh kề với nhau và cùng nhìn cạnh chứa 2 đỉnh còn lại cùng 1 góc α.

II. Các cách chứng minh:

Dựa vào định nghĩa, các định lý và một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nằm trong đường tròn, dưới đây là tổng hợp các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

Tứ giác nội tiếp đường tròn - itoan đồng hành cùng bạn học tốt Toán hình
Tứ giác nội tiếp đường tròn – itoan đồng hành cùng bạn học tốt Toán hình

1. Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác nằm cách đều 1 điểm nào đó.

Xét tứ giác ABCD và 1 điểm I:

  • Tứ giác ABCD được xem là TGNTDT tâm I, bán kính R (I,R) khi và chỉ khi: IA = IB = IC = ID.

2. Chứng minh tổng 2 góc đối của tứ giác là 180º

Xét tứ giác ABCD:

  • Tứ giác ABCD được xem là tứ giác nội tiếp của đường tròn nếu như A +C= 180º và B + D= 180º

3. Chứng minh 2 đỉnh kề 1 cạnh cùng nhìn cạnh dưới với 2 góc đều bằng nhau:

Xét tứ giác ABCD:

  • ta chứng minh được  khi và chỉ khi ta có góc DAC = góc DBC và cùng chắn cung DC.

4. Nếu như 1 tứ giác mà tổng số đo của 2 góc đối bằng nhau

Xét tứ giác ABCD:

  • Tứ giác ABCD được xem là tứ giác nội tiếp của đường tròn khi và chỉ khi ta có góc A + góc C= góc B + góc D= α. Đây chính là trường hợp đặc biệt của cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn thứ 2.

5. Tứ giác mà có góc ngoài của 1 đỉnh bằng với góc trong của đỉnh đối với nó

Xét tứ giác ABCD:

  • Tứ giác ABCD được xem là tứ giác nội tiếp của đường tròn khi góc ngoài của đỉnh A bằng với góc C, hoặc cũng có thể là góc ngoài của đỉnh B bằng với góc D. 

6. Chứng minh với phương pháp phản chứng:

  • Đối với cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn này thì sẽ chứng minh tứ giác là những hình đặc biệt như hình chữ nhật, hình vuông, hình bình hành hoặc hình thoi.

III. Các bài toán về chứng minh tứ giác nội tiếp:

Dưới đây là các bài toán  thông dụng hiện nay.

Tứ giác nội tiếp đường tròn - itoan đồng hành cùng bạn học tốt Toán hình
Tứ giác nội tiếp đường tròn – itoan đồng hành cùng bạn học tốt Toán hình

Bài tập 1 (Bài 53/SGK trang 89 Toán 9, Tập 2)

Cho tứ giác ABCD là một TGNTDT tâm O, bán kính R (O;R). Tính lần lượt các góc A, B, C, D còn thiếu (nếu có thể) trong những trường hợp cụ thể dưới đây:

  • Trường hợp 1: Góc A = 80º và Góc B =70º
  • Trường hợp 2: Góc C = 105º và Góc D =75º
  • Trường hợp 3: Góc A =  60º
  • Trường hợp 4: Góc B = 40º
  • Trường hợp 5: Góc B = 65º và Góc C = 74º
  • Trường hợp 6: Góc A = 95º và Góc D = 98º

Bài tập 2 (Bài 54/SGK trang 89 Toán 9, Tập 2)

Chứng minh rằng đường trung trực AB, AC, BD đều cùng đi qua 1 điểm. Biết rằng tứ giác ABCD có tổng của góc ABC + góc ADC = 180º

Bài tập 2 (Bài 55/SGK trang 89 Toán 9, Tập 2)

Cho tứ giác nội tiếp của đường tròn tâm M, ABCD biết rằng góc DAB là 80º, góc DAM là 30º, góc BMC là 70º. Hãy tính số đo của những góc sau: MAB, MCD, BCM, BCD, AMB, MAD và DMC.

Bài giảng trên đã cung cấp lý thuyết, các cách chứng minh và các bài toán về chứng minh tứ giác nội tiếp thường gặp hiện nay. Hy vọng đây là những kiến thức bổ ích, cần thiết cho các bạn học sinh, đặc biệt là quý phụ huynh. Nếu có nhu cầu ôn tập những kiến thức liên quan hay bất kỳ môn học khác hay thường xuyên cập nhật và theo dõi thông tin tại Itoan

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *