Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu – Toán lớp 7

Các điểm, đường thẳng, góc trong tam giác có mối quan hệ tương tác với nhau, đặc biệt là trong tam giác đặc biệt như: tam giác cân, tam giác vuông…. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu là mối quan hệ có tính ứng dụng cao trong phần Hình học 7 và làm nền tảng cho các bài học sau này. Bài giảng được iToan biên soạn bám sát theo chương trình SGK, giúp em tổng hợp và hệ thống lại kiến thức, bài tập.

Nội dung bài học

Khái niệm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu đường xiên

Đường xiên, hình chiếu

Từ điểm A không nằm trên đường thẳng d, kẻ một đường thẳng vuông góc với d tại H. Khi đó:

        • Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d; điểm H gọi là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.
        • Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
        • Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Ví dụ: AHaAH<AC,AH<AD,AH<AB

Đường xiên, hình chiếu

Các đường xiên và hình chiếu của chúng

Đường xiên, hình chiếu

Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:

        • Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

AHa,HD>HCAD>AC

        • Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.

AHa,AD>ACHD>HC

        • Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

AB=ACHB=HC

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A và tia phân giác CP. Chứng minh:

a) PA<CA

b) CP<CB

Giải:

Đường xiên, hình chiếu.

a) Ta có:

CP là tia phân giác của góc ACB nên ACPˆ=PCBˆ.

Lại có APCˆ là góc ngoài tại điểm P của BPC nên APCˆ>PCBˆ=ACPˆ.

Xét APC có: ACPˆ<APCˆPA<CA.

b) Ta có: AP<AB (vì P thuộc AB )

CP<CB (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).

Giải bài tập SGK Toán 7 Vuông góc, đường xiên, hình chiếu

Bài 8 (trang 59 SGK Toán 7 tập 2):

Cho hình 11, biết rằng AB < AC. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? Tại sao?

Đường xiên, hình chiếu

a) HB = HC;

b) HB > HC;

c) HB < HC.

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ, ta có:

AB, AC là hai đường xiên kẻ từ A đến BC.

HB là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng BC.

HC là hình chiếu của đường xiên AC trên đường thẳng BC.

Mà AB < AC nên HB < HC (Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn).

Vậy c) đúng.

Bài 9 (trang 59 SGK Toán 7 tập 2):

Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Nam xuất phát từ M, ngày thứ nhất bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn bơi đến B, ngày thứ ba bạn bơi đến C, …(hình 12).

Hỏi rằng bạn Nam tập bơi như thế có đúng mục đích đề ra hay không (ngày hôm sau có bơi được xa hơn ngày hôm trước hay không)? Vì sao?

Đường xiên, hình chiếu

Lời giải:

+ Nhận thấy các điểm A, B, C, D, … cùng nằm trên một đường thẳng. Gọi đường thẳng đó là đường thẳng d.

+ Theo định nghĩa:

MB, MC, MD, … là các đường xiên kẻ từ M đến d.

MA là đường vuông góc kẻ từ M đến d

AB là hình chiếu của đường xiên MB trên d

AC là hình chiếu của đường xiên MC trên d

AD là hình chiếu cùa đường xiên MD trên d

+ Theo định lý 1, MA là đường ngắn nhất trong các đường MA, MB, MC, …

+ Theo định lý 2: AB < AC < AD < … nên MB < MC < MD < … (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn).

Vậy MA < MB < MC < MD < … nên bạn Nam đã tập đúng mục đích đề ra.

Bài 10 (trang 59 SGK Toán 7 tập 2):

Chứng minh rằng trong một tam giác cân, độ dài đoạn thẳng nối đỉnh đối diện với đáy và một điểm bất kỳ của cạnh đáy nhỏ hơn hoặc bằng độ dài của cạnh bên.

Lời giải:

Đường xiên, hình chiếu

Giả sử ΔABC cân tại A, M là điểm thuộc cạnh đáy BC, ta chứng minh AM ≤ AB; AM ≤ AC.

– TH1 : Nếu M ≡ B hoặc M ≡ C (Kí hiệu đọc là trùng với) thì AM = AB = AC.

Đường xiên, hình chiếu

– TH2 : Nếu M nằm giữa B và C và M ≠ B; M ≠ C.

Đường xiên, hình chiếu

Kẻ AH ⊥ BC tại H

+ Nếu M ≡ H ⇒ AM ⊥ BC tại M hay AM là đường vuông góc từ A đến BC.

Mà AB, AC là các đường xiên từ A đến đường thẳng BC.

Theo định lí 1 : Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường thẳng vuông góc là đường ngắn nhất.

⇒ AM < AB và AM < AC.

+ Nếu M ≠ H giả sử M nằm giữa H và C ⇒ MH < CH

Vì MH và CH lần lượt là hình chiếu của đường xiên MA và CA trên đường BC

Mà MH < CH ⇒ MA < CA (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn).

Chứng minh tương tự nếu M nằm giữa H và B

Vậy mọi vị trí của M trên cạnh đáy BC thì AM ≤ AB = AC.

Bài 11 (trang 60 SGK Toán 7 tập 2):

Một cách chứng minh khác của định lí 2:

Cho hình 13. Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác để chứng minh rằng:

Nếu BC < BD thì AC < AD

Đường xiên, hình chiếu

Hướng dẫn:

a) Góc ACD là góc gì? Tại sao?

b) Trong tam giác ACD, cạnh nào lớn nhất, tại sao?

Lời giải:

a) Ta có BC < BD mà C, D nằm cùng phía so với B ⇒ C nằm giữa B và D.

Giải bài 11 trang 60 SGK Toán 7 Tập 2 | Giải toán lớp 7

b) Trong tam giác ACD có góc ACD là góc tù .

Mà AD là cạnh đối diện với góc ACD.

⇒ AD là cạnh lớn nhất trong tam giác ACD (cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất trong tam giác).

nên AD > AC hay AC < AD

Vậy Nếu : BC < BD thì AC < AD.

>>Để xem thêm các bài giải tiếp theo, các em có thể truy cập: Toppy

Bài tập tự luyện Vuông góc, đường xiên ,hình chiếu

Các bài tập tự luyện của iToan giúp các em ôn tập phần lý thuyết và luyện tập tư duy nhanh làm trắc nghiệm!

Phần câu hỏi

Câu 1: Đường xiên kẻ từ điểm E đến đường thẳng d là:

Đường xiên, hình chiếu

A. EH

B. HF

C. EF

Câu 2: Đường vuông góc kẻ từ điểm P đến đường thẳng d là:

Đường xiên, hình chiếu

A. PQ

B. PH

C. QH

Câu 3: Hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d là:

Đường xiên, hình chiếu

A. N

B. M

C. H

Câu 4: Hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d là:

Đường xiên, hình chiếu

A. N

B. M

C. H

Câu 5: Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Trên đường thẳng vuông góc với AC tại B ta lấy điểm H. Khi đó:

A. AH<BH

B. AH<AB

C. AH>BH

D. AH=BH

Phần đáp án

1.C        2.B        3.C       4.C      5.C

Lời kết

Phần kiến thức và bài tập này có khó không các em. Hy vọng qua bài học này các em đều đã hiểu được bài và nắm được cách làm các bài tập áp dụng. Để làm thêm nhiều bài tập nâng cao và các đề thi thử, các em có thể học cùng với Toppy,. Với Toppy, các em sẽ có những buổi học bổ ích hơn, thú vị hơn và hiệu quả hơn với phương pháp học tập có lộ trình rõ ràng.

>> Xem thêm:

Rate this post

Minh Phương

Là 1 giáo viên Toán tôi luôn nỗ lực không ngừng để mang đến cho học sinh những bài học sinh động, lý thú, giúp các em vững vàng kiến thức và say mê, yêu thích môn Toán hơn.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.