Đại cương về phương trình – Những kiến thức cần nắm vững

Khái niệm phương trình

1. Phương trình một ẩn

 Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng

f(x)=g(x) (1)

Trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình (1).

 Nếu có số thực x0 sao cho f(x0)=g(x0) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

 Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).

 Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).

2. Điều kiện của một phương trình

 Điều kiện xác định của phương trình hay điều kiện của phương trình là  điều kiện của x để f(x) và g(x) có nghĩa, tức là, mọi phép toán đều có thể thực hiện được.
 Khi các phép toán ở hai vế của một phương trình đều thực hiện được với mọi giá trị của x thì ta có thể không ghi điều kiện của phương trình.

Ví dụ:

Tìm điều kiện xác định của phương trình: 1x−3+22x−1=2.

Giải

ĐKXĐ: x−3≠0 và 2x−1≠0

⇔ x≠3 và x≠12.

3. Phương trình nhiều ẩn

 Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số.

Ví dụ:

3x+2y=x2−2xy+8 (2)

4x2−xy+2z=3z2+2xz+y2 (3)

Phương tình (2) là phương trình hai ẩn (x và y), còn (3) là phương trình ba ẩn (x,y và z).

Khi x=2,y=1 thì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp số (x,y)=(2,1) là một nghiệm của phương trình (2).

Tương tự, bộ ba số (x;y;z)=(−1;1;2) là một nghiệm của phương trình (3).

4. Phương trình chứa tham số

 Trong một phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò là ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.

 Giải và biện luận phương trình chưa tham số là xét xem với giá trị nào của tham số phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó.

Ví dụ: (m−1)x2+3mx+5=0, là phương trình ẩn x chưa tham số m

Phương trình tương đương và phương trình hệ quả

1. Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương với nhau khi chúng có cùng tập nghiệm.

Ví dụ: Hai phương trình 2x+1=0 và phương trình x+12=0 có cùng có nghiệm duy nhất x=−12=0 nên hai phương trình tương đương.

2. Phép biến đổi tương đương

 Để giải một phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy gọi là các phép biến đổi tương đương.

 Định lý:

• Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương.

a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

 Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.

 Kí hiệu: Ta dùng kí hiệu “⇔” để chỉ sự tương đương của các phương trình.

3. Phương trình hệ quả

 Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x)=g(x) đều là nghiệm của phương trình f1(x)=g1(x) thì phương trình f1(x)=g1(x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x)=g(x).

 Ta viết

f(x)=g(x) ⇒ f1(x)=g1(x)

 Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.

 Ví dụ: Giải phương trình: x+3x(x−1)+3x=2−xx−1 (4)

Giải

Điều kiện của phương trình (4) là: {x≠0x≠1

Nhân hai vế của phương trình (4) với x(x−1) ta đưa tới phương trình hệ quả

(4) ⇒x+3+3(x−1)=x(2−x)

⇒x2+2x=0

⇒x(x+2)=0⇒{x=0x=−2

Ta thấy, x=0 không thỏa mãn điều kiện của phương trình (4), nên là nghiệm ngoại lai. Còn x=−2 thỏa mãn điều kiện và là một nghiệm của phương trình (4).

Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất là x=−2.

Trên là những kiến thức các bạn học sinh cần nắm vững về đại cương về phương trình.

Xem thêm:

• Hàm số y = ax + b – Tổng hợp lý thuyết và các dạng bài liên quan
• Các kiến thức cần nhớ về hàm số bậc hai – Toán 10 Đại số