Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn – Đại số 10
Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn là một trong những chuyên đề quan trọng nhất của chương trình toán đại lớp 10. Từ những kiến thức này, chúng ta có thể rút ra những kỹ năng cho bản thân. Để có thể dễ dàng mở rộng, rèn luyện ở các dạng toán khác sau này. Như các dạng toán về bất phương trình hai ẩn. Hãy cùng Itoan đi tìm hiểu và thực hành luyện tập nhé!
Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
Lý thuyết về bất phương trình một ẩn
Khái niệm
Bất phương trình có một ẩn x là một mệnh đề có dạng sau đây:
f(x) < g(x)
(f(x) ≤ g(x))
Hoặc ngược lại:
g(x) > f(x)
g(x) ≥ f(x)
Trong đó, x là ẩn số
f(x) và g(x) là các biểu thức có chứa biến x
Nghiệm của bất phương trình là các số thực. Ở đây tạm gọi là x0 sao cho khi thay x0 vào bất phương trình thỏa mãn điều kiện: f(xo) < g(xo) hay f(xo) ≤ g(xo)
Khi đề bài yêu cầu giải bất phương trình, các em cần tìm các tập nghiệm cho bất phương trình đó.
Nếu không có nghiệm x0 nào thỏa mãn điều kiện của đề bài. Ta kết luận phương trình đó vô nghiệm.
Điều kiện tồn tại cho bất phương trình một ẩn
Để tìm điều kiện của bất phương trình, ta tìm các điều kiện của x. Sao cho với mọi x nằm trong điều kiện, các biểu thức f(x) và g(x) có nghĩa.
Bất phương trình có chứa tham số
Tham số là một hằng số tồn tại trong một bất phương trình bên cạnh những thành phần khác. Như hệ số, ẩn số. ví dụ như với BPT sau đây:
2x + m > 0,2x – m
Ở đây, m là tham số, 1 và 0,2 là hệ số và x là ẩn.
Lý thuyết về hệ bất phương trình một ẩn – Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
Định nghĩa
Hệ bất phương trình x bao gồm một số bất phương trình ẩn x. Giải bất phương trình là quá trình đi tìm kiếm những nghiệm chung của các bất phương trình trong hệ đó.
Một cặp nghiệm (x0, y0) chỉ có thể được coi là nghiệm của hệ phương trình. Khi và chỉ khi chúng đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ.
Một số phép biến đổi
1. Bất phương trình tương đương
Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu “<=>” để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.
Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu “<=>” để chỉ sự tương đương đó.
2. Phép biến đổi tương đương
Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.
3. Cộng (trừ)
Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
P(x) < Q(x) <=> P(x) – f(x) < Q(x) – f(x)
4. Nhân (chia)
Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
P(x) < Q(x) <=> P(x).f(x) < Q(x).f(x), f(x) > 0, ∀x
P(x) < Q(x) <=> P(x).f(x) > Q(x).f(x), f(x) < 0, ∀x
5. Bình phương
Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương.
P(x) < Q(x) <=> P2(x) < Q2(x), P(x) ≥ 0, Q(x) ≥ 0, ∀x
Bài tập luyện tập
Bài 1 (trang 87 SGK Đại Số 10): Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:
Lời giải
Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R\{0; –1}
BPT xác định khi
Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R\{–2; 1; 2; 3}
BPT xác định khi x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ –1.
Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R\{–1}
Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = (–∞; 1] \ {–4}.
Bài 2 (trang 88 SGK Đại Số 10): Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm:
Lời giải
a) Điều kiện xác định x ≥ –8
Ta có: 
nên 
với mọi x ≥ –8.
Do đó BPT 
vô nghiệm.
b) Tập xác định: D = R.
Do đó BPT 
vô nghiệm.
c) Tập xác định D = R.
Ta có:
Lời kết
Trên đây là bài viết nội dung về chủ đề Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn. Hy vọng đây sẽ là những kiến thức bổ ích dành cho các bạn học sinh. Đặc biệt là quý phụ huynh có nhu cầu ôn tập và giảng dạy cho các em. Trong quá trình học tập và ôn luyện, nếu có nhu cầu tìm kiếm đơn vị học tập uy tín, chất lượng. Hoặc muốn được giải đáp về những kiến thức liên quan đến môn học, hãy liên hệ với Itoan để được giải đáp nhanh nhất có thể
