Đường kính và dây của đường tròn – Cùng bạn chinh phục toán hình lớp 9

5/5 - (6 bình chọn)

Đường tròn là một trong những hình học khó với nhiều dạng bài tập khác nhau. Để có thể hiểu được đầy đủ về hình học này cần xác định được lý thuyết cũng như bài tập về đường kính và dây của đường tròn. Chính vì vậy hãy cùng Itoan theo dõi bài giảng sau với những bài tập thông dụng về mảng kiến thức này để các bạn học sinh có thể áp dụng.

I. Lý thuyết về đường kính và dây của đường tròn:

1. Cung và dây cung của đường tròn:

Cho đường tròn có tâm là O và có 2 điểm phân biệt là A và B nằm trên đường tròn thì 2 điểm này sẽ chia đường tròn làm 2 phần. Đối với 2 phần này, mỗi phần sẽ được xem là một cung.

Trong đó:

  • 2 điểm A và B được gọi là 2 mút của cung.
  • Đoạn thẳng nối liền 2 mút của cung được gọi là dây cung (dây).
  • Dây cung đi qua tâm của đường tròn được gọi là đường kính.

Ngoài ra trong một đường tròn còn có mối quan hệ giữa đường kính và dây cung như sau: Đường kính sẽ dài gấp đôi bán kính. 

2. So sánh giữa độ dài dây cung và đường kính:

Định lý 1:

  • Trong tất cả các dây cung của đường tròn, dây cung lớn nhất là đường kính.

Xét một đường tròn tâm O, bán kính R, (O , R) ta có: 

  • A ∈ O, B ∈ O ⇒ AB ≤ 2R
Đường kính và dây của đường tròn - Cùng bạn chinh phục toán hình lớp 9
Đường kính và dây của đường tròn – Cùng bạn chinh phục toán hình lớp 9

Chứng minh:

  • Trường hợp 1:

Nếu đường kính của đường tròn là dây AB thì AB = 2R

  • Trường hợp 2: 

Nếu đường kính của đường tròn không phải là dây AB.

Xét ΔOAB, có: AB < OA + OB = R + R = 2R

⇒ Vậy trong một đường tròn tâm O, bán kính R, (O , R) ta luôn có AB ≤ 2R

3. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây của đường tròn: 

Định lý 2:

  • Quan hệ vuông góc giữa đường kính cùng với dây đường tròn được định nghĩa như sau: Nếu đường kính mà vuông góc với 1 dây trong 1 đường tròn thì đi qua trung điểm của dây đó.

Chứng minh:

  • Trường hợp 1:

Nếu đường kính của đường tròn là CD thì hiển nhiên AB sẽ đi qua trung điểm O (tâm) của đường kính CD.

  • Trường hợp 2: 

Nếu đường kính của đường tròn không phải là CD

Ta gọi I là giao điểm giữa AB và CD. Khi đó ΔOCD có OD = OC = R

⇒ ΔOCD là tam giác cân tại O (Do OC = OD = R)

⇒ Đường cao của ΔOCD là OI và cũng là đường trung tuyến

⇒ ID = IC (Hay I là trung điểm của CD)

Đường kính và dây của đường tròn - Cùng bạn chinh phục toán hình lớp 9
Đường kính và dây của đường tròn – Cùng bạn chinh phục toán hình lớp 9

Vậy nếu đường kính mà vuông góc với 1 dây trong 1 đường tròn thì đi qua trung điểm của dây đó. Đây cũng chính là định lý quan trọng trong toán 9 đường kính và dây của đường tròn cần nắm vững.

Định lý 3:

  • Nếu đường kính mà đi qua trung điểm của 1 dây và không đi qua tâm trong 1 đường tròn thì vuông góc với dây đó.

Chứng minh:

Gọi I là giao điểm của đường kính AB và dây CD.

⇒ ΔOCD là tam giác cân tại O (Do OC = OD = R)

Mà ta có OI là trung tuyến của ΔOCD nên đồng thời cũng là đường cao của tam giác.

⇒ Vậy OI ⊥ CD tại điểm I.

Đường kính và dây của đường tròn - Cùng bạn chinh phục toán hình lớp 9

Lưu ý: 

  • Trong quan hệ vuông góc giữa đường kính với dây đường tròn, nếu đường kính mà đi qua trung điểm của 1 dây thì có thể sẽ không vuông góc với đó.

Giả sử 2 đường kính của đường tròn (O , R) là AB và CD.

Khi đó ta có CD cũng là 1 dây cung của đường tròn tâm O.

Mà O ∈ CD đồng thời OC = OD (do CD là đường kính của đường tròn tâm O)

⇒ O chính là trung điểm của CD.

⇒ Khi đó, đường kính AB sẽ đi qua trung điểm O của CD nhưng đường kính sẽ không vuông góc với dây đường tròn.

Đường kính và dây của đường tròn - Cùng bạn chinh phục toán hình lớp 9

II. Bài tập đường kính và dây của đường tròn sbt:

Trên đây là bài giảng về đường kính và dây của đường tròn, để củng cố lại lý thuyết của bài học, dưới đây là một số bài toán cơ bản về dạng kiến thức này giúp các em hệ thống hóa lại kiến thức cho quá trình ôn tập cũng như luyện thi được hiệu quả.

Bài tập 1: (Bài 15/SBT Tập 1, Toán 9, trang 158)

Cho ΔABC, đường cao CK và BH. Chứng minh rằng:

  1. B, C, H, K là 4 điểm không cùng thuộc 1 đường tròn.
  2. HK < BC.

Bài tập 2: (Bài 16/SBT Tập 1, Toán 9, trang 159)

Cho tứ giác ABCD có góc B = góc B = 90⁰ 

  1. Chứng minh A, B, C, D là 4 điểm cùng thuộc trên 1 đường tròn.
  2. So sánh độ dài của cung AB và cung BD. Nếu như AC = BD thì ABCD là tứ giác gì? Tại sao?

Bài tập 3: (Bài 17/SBT Tập 1, Toán 9, trang 159)

Cho nửa đường tròn (O,AB) (Tâm O, đường kính AB) và dây EF không cắt với đường kính. Gọi K và I lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B và A đến dây EF. Chứng minh IE = KF.

Bài giảng đường kính và dây của đường tròn trên đã cung cấp kiến thức về lý thuyết cũng như các dạng bài tập cơ bản về bài học này. Hy vọng đây sẽ là những thông tin bổ ích dành cho các bạn học sinh và quý phụ huynh có nhu cầu giảng dạy và ôn tập cho con em của mình. Đừng quên thường xuyên truy cập Itoan để cập nhật thêm những kiến thức môn học khác nhé!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *