Hoán vị- Chỉnh hợp- Tổ hợp – Bài tập Toán lớp 11

5/5 - (4 bình chọn)

Xin chào các bạn học sinh thân mến của lớp học iToan! Hôm nay chúng ta sẽ đến một bài học mới với những kiến thức mới mẻ, thú vị : Hoán vị- Chỉnh hợp- Tổ hợp. Đây là dạng toán nền tảng, vô cùng quan trọng trong chương trình Đại số 11 và cần thiết cho các kì thi sắp tới. Cùng tìm hiểu xem có gì thú vị nhé!

Lý thuyết cần nắm Hoán vị- Chỉnh hợp- Tổ hợp

Tổng hợp các kiến thức lý thuyết chi tiết, dễ hiểu nhất & các ví dụ minh họa trực quan.

Hoán vị

1. Giai thừa

n!=1.2.3…n

Qui ước: 0!=1

n!=(n1)!n

n!p!=(p+1).(p+2)...n (với n>p)

n!(np)!=(np+1).(np+2)...n (với n>p)

2. Hoán vị 

CỤC HOA XINH XANH Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n1). Kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

CỤC HOA XINH XANH Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.

3. Số các hoán vị

Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử. Ta có định lý sau đây.

CỤC HOA XINH XANH Định lý

CỤC HOA XINH XANH Ví dụ: Có hai dãy ghế, mỗi dãy 5 ghế. Có bao nhiêu cách xếp 5 nam, 5 nữ vào 2 dãy ghế trên biết nam và nữ được xếp tùy ý.

Giải

Mỗi cách xếp 5 nam và 5 nữ vào hai dãy ghế một cách tùy ý là một hoán vị của 10 người. Vậy có 10!=3628800 cách xếp.

Chỉnh hợp

1. Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

2. Số các chỉnh hợp

Kí hiệu Akn là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1kn). Ta có định lí sau đây.

CỤC HOA XINH XANH Định lý

Akn=n(n1)(n2)(nk+1)=n!(nk)!

CỤC HOA XINH XANH Chú ý

⚡Với quy ước 0!=1, ta có

⚡Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy

CỤC HOA XINH XANH Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, …, 9?

Giải

Mỗi số tự nhiên có năm chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy năm chữ số khác nhau từ chín chữ số đã cho và xếp chúng theo một thứ tự nhất định. Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 5 của 9. Vậy số các số đó là:

A95=9.8.7.6.5=15120

Tổ hợp

1. Định nghĩa 

CỤC HOA XINH XANH Giả sử tập A gồm n phần tử (n1). Mỗi tập con gồm k (1kn) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

CỤC HOA XINH XANH Quy ước: Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

2. Số các tổ hợp

Kí hiệu Ckn là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0kn).Ta có định lí sau

CỤC HOA XINH XANH Định lý:

3. Tính chất của các số Ckn

CỤC HOA XINH XANH Tính chất 1

Ckn=Cnkn

CỤC HOA XINH XANH Tính chất 2 (công thức Pa-xcan)

Ck1n1+Ckn1=Ckn (1kn)

CỤC HOA XINH XANH Ví dụ: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng, 4 bông hồng đỏ (các bông hồng xem như đôi một khác nhau). Người ta muốn chọn ra một bó hoa hồng gồm 7 bông trong đó có đúng một bông hồng đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

Giải

Số cách chọn 1 bông hồng đỏ trong 4 bông hồng đỏ là một tổ hợp chập 1 của 4, nên số cách chọn là: C14.

6 bông hồng còn lại chọn trong 8 bông (gồm vàng và trắng), có số cách chọn là: C68 .

Vậy số cách chọn một bó hoa hồng gồm 7 bông trong đó có đúng một bông hồng đỏ là C14.C68=112 cách.

Giải bài tập SGK Đại số 11 Hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

Bài 1 (trang 54 SGK Đại số 11): 

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau. Hỏi:

a. Có tất cả bao nhiêu số?

b. Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?

c. Có bao nhiêu số bé hơn 432.000?

Lời giải:

Đặt A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

n(A) = 6.

a. Việc lập các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau là việc sắp xếp thứ tự 6 chữ số của tập A. Mỗi số là một hoán vị của 6 phần tử đó

⇒ Có P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 số thỏa mãn

Vậy có 720 số thỏa mãn đầu bài.

b. Việc lập các số chẵn là việc chọn các số có tận cùng bằng 2, 4 hoặc 6.

Gọi số cần lập là Giải bài 1 trang 54 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

+ Chọn f : Có 3 cách chọn (2 ; 4 hoặc 6)

+ Chọn e : Có 5 cách chọn (khác f).

+ Chọn d : Có 4 cách chọn (khác e và f).

+ Chọn c : Có 3 cách chọn (khác d, e và f).

+ Chọn b : Có 2 cách chọn (khác c, d, e và f).

+ Chọn a : Có 1 cách chọn (Chữ số còn lại).

⇒ Theo quy tắc nhân: Có 3.5.4.3.2.1 = 360 (cách chọn).

Vậy có 360 số chẵn, còn lại 720 – 360 = 360 số lẻ.

c. Chọn một số nhỏ hơn 432.000 ta có hai cách chọn :

Chọn số có chữ số hàng trăm nghìn nhỏ hơn 4.

+ Chọn chữ số hàng trăm nghìn : Có 3 cách (1, 2 hoặc 3).

+ Sắp xếp 5 chữ số còn lại : Có P5 = 120 cách.

⇒ Theo quy tắc nhân: Có 3.120 = 360 số thỏa mãn.

Bài 2 (trang 54 SGK Đại số 11): 

Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người vào mười ghế kê thành một dãy?

Lời giải:

Mỗi cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người vào mười ghế là một hoán vị của một tập hợp có 10 phần tử.

Vậy có P10 = 10! = 3.628.800 cách sắp xếp.

Bài 3 (trang 54 SGK Đại số 11): 

Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông)?

Lời giải:

Việc cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho chính là việc chọn 3 bông hoa trong số 7 bông hoa rồi sắp xếp chúng vào các lọ.

Vậy số cách chọn chính là Giải bài 3 trang 54 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (cách).

Bài 4 (trang 55 SGK Đại số 11): 

Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau?

Lời giải:

Việc chọn 4 bóng đèn mắc nối tiếp chính là việc chọn lấy 4 bóng đèn khác nhau trong tập hợp 6 bóng đèn và sắp xếp chúng theo thứ tự và chính là chỉnh hợp chập 4 của 6.

Vậy có Giải bài 4 trang 55 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (cách).

Bài 5 (trang 55 SGK Đại số 11): 

Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu:

a. Các bông hoa khác nhau?

b. Các bông hoa như nhau?

Lời giải:

a. Việc cắm 3 bông hoa vào 3 lọ chính là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ tập hợp 5 lọ hoa rồi sắp xếp chúng với các bông hoa tương ứng và chính là kết quả của chỉnh hợp chập 3 của 5.

(Vì các bông hoa khác nhau nên mỗi cách sắp xếp cho ta 1 kết quả khác nhau).

Vậy có: Giải bài 5 trang 55 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (cách).

b. Việc cắm 3 bông hoa giống nhau vào 3 lọ chính là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ tập hợp 5 lọ hoa để cắm và chính là kết quả của tổ hợp chập 3 của 5.

(Vì các bông hoa giống nhau nên sắp xếp các lọ theo cách nào cũng đều cho cùng một kết quả).

Vậy có: Giải bài 5 trang 55 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (cách).

Bài 6 (trang 55 SGK Đại số 11): 

Trong mặt phẳng, có 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?

Lời giải:

Cứ chọn 3 điểm không thẳng hàng bất kì ta được một tam giác.

Việc lập các tam giác chính là chọn 3 điểm trong tập hợp 6 điểm đã cho và chính là tổ hợp chập 3 của 6.

Vậy có : Giải bài 6 trang 55 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 cách lập.

Bài 7 (trang 55 SGK Đại số 11): 

Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song đó?

Lời giải:

Việc lập một hình chữ nhật được thực hiện bởi hai bước:

+ Chọn 2 đường thẳng trong số 4 đường thẳng.

Có: Giải bài 7 trang 55 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 cách chọn.

+ Chọn 2 đường thẳng trong số 5 đường thẳng vuông góc

Có: Giải bài 7 trang 55 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 cách chọn.

⇒ Theo quy tắc nhân: Có 10.6 = 60 (cách lập hình chữ nhật).

Bài tập tự luyện Hoán vị- Chỉnh hợp- Tổ hợp

Câu 1: Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3 ?

A. 192

B. 202

C. 211

D. 180

Câu 2: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho A và F ngồi ở hai đầu ghế

A. 48

B. 42

C. 46

D. 50

Câu 3: Trong tủ sách có tất cả 10 cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề quyển thứ hai:

A. 10!

B. 9!

C. 9! – 2!

D. 725760

Câu 4: Từ các số 1,2,3 lập được bao nhiều số tự nhiên gôm 6 chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau.

A. 76

B. 42

C. 80

D. 68

Câu 5: Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là:

A. C3 của 7

B. A3 của 7

C. 7!/ 3!

D. 7

Phần đáp án

1.A      2.A      3. D     4.A       5.A

Lời kết

Bài giảng Hoán vị- Chỉnh hợp- Tổ hợp kết thúc tại đây! Để xem video bài giảng trước và học trước các bài tiếp theo, các em có thê truy cập trang Web của Toppy. Tại Toppy, các em có thể học trực tiếp với thầy cô giáo, tự làm các bài tập tự luyện và được nhắc nhở học thường xuyên với lộ trình học rõ ràng.

Chúc các em học tốt!

>> Xem thêm:

Minh Phương

Là 1 giáo viên Toán tôi luôn nỗ lực không ngừng để mang đến cho học sinh những bài học sinh động, lý thú, giúp các em vững vàng kiến thức và say mê, yêu thích môn Toán hơn.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *