Nhị thức Newton – Bài tập & Lời giải Toán lớp 11

4.9/5 - (7 bình chọn)

Newton là nhà toán học, vật lý học thiên tài. Ông được công nhận là nhà một trong những nhà khoa học vĩ đại, ảnh hưởng nhất mọi thời đại. Trong cuộc đời ông đã tạo ra nhiều giả thuyết, kiến thức có ý nghĩa lớn, một trong số đó là Nhị thức Newton. Bài giảng: Nhị thức Newton được iToan biên soạn với mục đích giúp các em học sinh  tổng hợp lại kiến thức lý thuyết và làm tốt các dạng bài tập liên quan. Cùng học với iToan nhé!

Các phần kiến thức trong bài

  • Tổng hợp lý thuyết cơ bản cần nắm
  • Hướng dẫn giải bài tập SGK
  • Bài tập tự luyện giúp em tiến bộ

Tổng hợp lý thuyết về Nhị thức Newton

Công thức nhị thức Newton

Nhị thức Newton

c. 💡Chú ý

Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1)

  • Số các hạng tử là (n+1).
  • Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước a0=b0=1
  • Nhị thức Newton

Tam giác Pascan

Trên đây ta thấy muốn khai triển (a+b)^n  thành đa thức, ta cần biết n+1 số Nhị thức Newtoncó mặt trong công thức nhị thức Niu-tơn. Các số này có thể tính được bằng cách sử dụng bảng số sau.

CỤC NHỎ XINH Bảng số này do nhà toán học Pháp Pa-xcan thiết lập vào năm 1653 và được người ta gọi là tam giác Pa-xcan.

CỤC NHỎ XINH Tam giác Pa-xcan được thiết lập theo quy luật sau:

Nhị thức Newton

  • Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1.
  • Nếu biết hàng thứ  n(n1) thì hàng thứ n+1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ   rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng.

💡 Chú ý:

Nhị thức NewtonGiải bài tập SGK Toán 11 Nhị thức Newton

Bài 1 (trang 57 SGK Đại số 11): Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu – tơn:

Giải bài 1 trang 57 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Nhị thức Newton

Nhị thức Newton

Nhị thức Newton

Bài 2 (trang 58 SGK Đại số 11): Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức : Giải bài 2 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

+ Số hạng tổng quát của khai triển Giải bài 2 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 là:

Giải bài 2 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

+ x3 ứng với 6 – 3k = 3 ⇔ k = 1.

Vậy hệ số của x3 là: Giải bài 2 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 3 (trang 58 SGK Đại số 11): Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1 – 3x)n là 90. Tìm n.

Lời giải:

+ Số hạng tổng quát của khai triển (1 – 3x)n là:

Giải bài tập Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

+ Số hạng chứa x2 ứng với k = 2.

Hệ số của x2 là 90 nên ta có:

Giải bài tập Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy n = 5.

Bài 4 (trang 58 SGK Đại số 11): Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của Giải bài 4 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

+ Số hạng tổng quát trong khai triển Giải bài 4 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 là:

Giải bài 4 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

+ Số hạng không chứa x tương ứng với 24 – 4k = 0 ⇔ k = 6.

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là: Giải bài 4 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 5 (trang 58 SGK Đại số 11): Tìm khai triển biểu thức (3x – 4)17 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

Lời giải:

Giải bài 5 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Đặt S là tổng các hệ số của đa thức khai triển.

Ta có:

Giải bài 5 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy tổng các hệ số của đa thức khai triển bằng -1.

Bài 6 (trang 58 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng:

a) 1110 – 1 chia hết cho 100

b) 101100 – 1 chia hết cho 10.000

c) Giải bài 6 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 là một số nguyên

Lời giải:

a) Ta có; 1110 = (10+1)10 ( khai triển nhị thức Niu- tơn )

Nhị thức Newton

Do đó, 1110 -1 chia hết cho 100

b) Ta có: 10110 = (100+1)10 ( khai triển nhị thức Niu- tơn )

Nhị thức Newton

Do đó, 10110 -1 chia hết cho 10000

Nhị thức Newton

Nhị thức Newton

Nhị thức Newton

Bài tập luyện tập Nhị thức Newton

Các bài tập do iToan biên soạn giúp các em luyện tập tư duy làm bài trắc nghiệm, hiểu và ghi nhớ kiến thức tốt hơn!

Phần câu hỏi

Câu 1: Trong khai triển (2ab)^5 , hệ số của số hạng thứ 3 bằng:

A. -80

B. 80

C. -10

D. 10

Câu 2: 

Nhị thức Newton

Câu 3: Nhị thức Newton

A. 60

B. 80

C. 100

D. 160

Câu 4: Trong khai triển (2a1)^6 , tổng ba số hạng đầu là:

A. 2a^66a^5+15a^4 .

B. 2a^615a^5+30a^4.

C. 64a^6192a^5+480a^4

D. 64a^6192a^5+240a^4.

Phần đáp án

1.B    2.D      3.A      4.D

Lời kết

Nhị thức Newton là phần kiến thức cơ bảng em cần ghi nhớ và thành thạo để có thể học tốt toán Tổ hợp- Xác suất. Để nghe bài giảng chi tiết từ thầy cô và làm thêm các bài tập luyện tập, các em có thể tìm kiếm trên trang web Toppy. Toppy là nền tảng học trực tuyến tốt nhất hiện nay, luôn đem đến cho các em những bài giảng hay, bổ ích, gắn liền với chương trình học trên lớp của các em

Chúc các em học tập tốt!

>> Xem thêm các bài giảng khác tại iToan:

Minh Phương

Là 1 giáo viên Toán tôi luôn nỗ lực không ngừng để mang đến cho học sinh những bài học sinh động, lý thú, giúp các em vững vàng kiến thức và say mê, yêu thích môn Toán hơn.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *