Hai mặt phẳng vuông góc – Học tốt toán 11
Cùng nhắc lại một số bài học mà chúng ta đã học liên quan đến những quan hệ của mặt phẳng nhé . Chúng ta đã được làm quen với : mặt phẳng song song với đường thẳng , mặt phẳng vuông góc với đường thẳng , mặt phẳng song song với nhau. Vậy bài học hôm nay , Itoan sẽ giới thiệu cho bạn thêm một mảng kiến thức liên quan đến các mối quan hệ giữa hai mặt phẳng : ” Hai mặt phẳng vuông góc ” . Cùng Itoan đi tìm hiểu ngay nhé!
Mục tiêu bài học : Hai mặt phẳng vuông góc
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn các kiến thức sau :
- Khái niệm về hai mặt phẳng vuông góc
- Những tính chất và mối liên hệ của chúng với nhau
- Hoàn thành toàn bộ bài tập trong bài học
Kiến thức cơ bản của bài học : Hai mặt phẳng vuông góc
Để các bản hiểu hơn về bài học hôm nay , chúng ta cùng đi tìm hiểu những kiến thức cơ bản của bài toán nhé!
I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
1. Định nghĩa
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng.
2. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (α) và S’ là diện tích hình chiếu của H’ của H trên mặt phẳng (β) thì S’ = S.cosφ trong đó φ là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β).
II. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1. Định nghĩa
Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°
Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau ta kí hiệu (α) ⊥ (β).
2.Định lí
Định lí 1 (Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc)
Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
Hệ quả 1
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Hệ quả 2
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).
Định lí 2
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
III. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG
1. Định nghĩa
Hình ảnh trên chính là Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.
Hình ảnh trên đây chính là Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Hình ảnh trên đây là Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
Hình ảnh trên đây là hình Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Hình ảnh trên đây là hình Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
2. Nhận xét
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng luôn luôn vuông góc với mặt phẳng đáy và là những hình chữ nhật.
IV. HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU
1. Hình chóp đều
Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhận xét
+ Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
+ Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với đáy các góc bằng nhau.
2. Hình chóp cụt đều
Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy để được một hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.
Hướng dẫn giải bài tập Toán SGK lớp 11 bài học : Hai mặt phẳng song song
Sau đây cùng kiểm tra lại những kiến thức vừa học bằng việc giải một số bài tập sau đây nhé !
Bài 1 : Cho ba mặt phẳng (α), (β), (γ), những mệnh đề nào sau đây đúng?
a) Nếu (α) ⊥ (β) và (α) // (γ) thì (β) ⊥ (γ).
b) Nếu (α) ⊥ (β) và (α) ⊥ (γ) thì (β) // (γ).
Lời giải:
a) Đúng.
(α) ⊥ (β) ⇒ ∃ đường thẳng d ⊂ (β) và d ⊥ (α ).
Mà (α ) // (γ)
⇒ d ⊥ (γ)
⇒ (β) ⊥ (γ).
b) Sai, vì hai mặt phẳng (β), (γ) cùng vuông góc với mp(α) có thể song song hoặc cắt nhau.
Bài 2 :
Chúng ta có đề bài như sau : Cho hai mặt phẳng (α), (β) vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến Δ của hai mặt phẳng đó hai điểm A và B sao cho AB = 8cm. Gọi C là một điểm trên (α) và D là một điểm trên (β) sao cho AC và BD cùng vuông góc với giao tuyến Δ và AC = 6cm, BD = 24cm. Tính độ dài đoạn CD.
Lời giải:
Bài 3 :
Cùng đọc đề bài và giải toán với Itoan nhé : Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông ở B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với (α) tại A. Chứng minh rằng:
a) (ABD) là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)
b) Mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BCD)
c) HK // BC với H và K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mp(P) đi qua A và vuông góc với DB.
Lời giải:
Bài 4 :
Đề bài cho chúng ta những dữ liệu sau đây : Cho hai mặt phẳng (α), (β) cắt nhau và một điểm M không thuộc (α) và (β). Chứng minh rằng qua điểm M có một và chỉ một mặt phẳng (P) vuông góc với (α) và (β). Nếu (α) // (β) thì kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào?
Lời giải cho bài toán trên : Mặt phẳng (P) cần dựng (tức mp(MHK)) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với Δ.
Vì qua một điểm chỉ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước nên (P) là duy nhất.
Nếu (α) // (β) thì qua M ta chỉ có thể vẽ một đường thẳng Δ vuông góc với (α) và (β). Bất kì mặt phẳng (P) nào chứa Δ cũng đều vuông góc với (α), (β). Trường hợp này, qua M có vô số mặt phẳng vuông góc với (α), (β).
Bài 5 :
Chúng ta có những bài tập sau đây : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng:
a) Mặt phẳng (AB’C’D) vuông góc với (BCD’A’)
b) Đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD)
Lời giải:
Chú ý : Các bạn cần tự hoàn thiện các bài tập còn lại , các bạn có thể dựa trên những bài toán trên để hoàn thành các bài tập còn lại . Hãy cố gắng tự làm để nhớ cũng như củng cố lại kiến thức
Lời kết :
Chương trình Toán ngày càng khó , vì vậy các bạn cần thật chăm chỉ cũng như có phương pháp học tối ưu cho bản thân . Itoan sẽ hỗ trợ bạn trong việc hệ thống hóa toàn bộ các bài học dưới dạng ngắn gọn và dễ hiểu nhất . Các bạn có thể tham khảo thêm các bài học khác tại : https://www.toppy.vn/
Chúc các bạn học tập tốt !
Xem thêm :
