Phương trình đường thẳng trong không gian – Bài tập Hình học 12

5/5 - (4 bình chọn)

Ở các năm trước, các em đã được học cách viết phương trình đường thẳng trong không gian 2 chiều, vậy trong không gian 3 chiều thì sao nhỉ? Chúng ta hãy cùng iToan tìm hiểu trong bài học ngày hôm nay: Phương trình đường thẳng trong không gian để xem có điều gì mới lạ nhé!

Bài giảng bao gồm 3 phần

  • Tổng hợp lý thuyết cần nắm
  • Hướng dẫn giải bài tập SGK trang
  • Bài tập tự luyện và lời giải

Lý thuyết cần nắm Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương trình tham số của đường thẳng

1. Định lí

Điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z) nằm trên đường thẳng   đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ u=(a1;a2;a3)  làm vectơ chỉ phương là tồn tại một số thực t sao cho:

Phương trình đường thẳng

2. Định nghĩa

Phương trình tham số của đường thẳng   đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vec tơ chỉ phương u=(a1;a2;a3) là phương trình có dạng:

Phương trình đường thẳng

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng  .

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng   đi qua điểm  M(1;2;4) và có vectơ chỉ phương u=(2;3;1) .

Giải

Phương trình đường thẳng

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1;0;2) và B(3;2;1).

Giải

Đường thẳng đi qua hai điểm A(1;0;2) và B(3;2;1) có vectơ chỉ phương là: u=AB−→−=(2;2;1).

Phương trình đường thẳng.

Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d,d

Phương trình đường thẳng

1. Điều kiện để hai đường thẳng song song

d song song d khi và chỉ khi:

Phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng

2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau

d cắt d  hệ phương trình ẩn t,t

Phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng.

3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau

Phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng

4. Các bước xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian khi biết phương trình của chúng

Bước 1 : Xác định vectơ chỉ phương của hai đường thẳng.

Bước 2 : Kiểm tra điều kiện hai vectơ đó cùng phương với nhau hay không ?

Nếu hai vectơ chỉ phương cùng phương với nhau thì chuyển sang bước 3.

Nếu hai vectơ chỉ phương không cùng phương thì chuyển sang bước 4.

Bước 3 : Lấy điểm M thuộc đường thẳng d, kiểm tra M thuộc đường thẳng d hay không ?

Nếu M không thuộc d thì kết luận , ngược lại thì kết luận

Bước 4 : Giải hệ phương trình tạo bởi phương trình của hai đường thẳng

Nếu hệ có 1 nghiệm thì kết luận d cắt d, nếu hệ vô nghiệm kết luận d và d chéo nhau.

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Phương trình đường thẳng

– Nếu (I) vô nghiệm thì d//(α)

– Nếu (I) có một nghiệm thì d cắt mp (α)

– Nếu (I) có vô số nghiệm thì d(α)

Ví dụ: Xác định vị trí tương đối giữa mặt phẳng (α) x+y+z3=0 với đường thẳng d trong các trường hợp sau:

Phương trình đường thẳng

Giải

a) Gọi M(x;y;x) là điểm chung của đường thẳng d và mp (α), tọa độ điểm M là

Phương trình đường thẳng

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên d  cắt mp (α) tại điểm  M(1;1;1)

Giải bài tập SGK Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 1

Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua M(5; 4; 1) và có vectơ chỉ phương Giải bài 1 trang 89 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

b) d đi qua A(2; -1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α): x + y – z + 5 = 0.

c) d đi qua B(2; 0; -3) và song song với đường thẳng Giải bài 1 trang 89 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

d) d đi qua hai điểm P(1; 2; 3) và Q(5; 4; 4).

Lời giải:

Giải bài 1 trang 89 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 2

Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng

Giải bài 2 trang 89 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Lời giải:

+ t = 0 ⇒ điểm M(2; -3; 1) ∈ d

+ t = 1 ⇒ điểm N(3; -1; 4) ∈ d.

a) Hình chiếu của M trên (Oxy) là M’(2 ; -3 ; 0).

Hình chiếu của N trên (Oxy) là : N’(3 ; -1 ; 0).

⇒ Hình chiếu của d trên (Oxy) chính là đường thẳng d’ đi qua M’ và N’.

⇒ d’ nhận Giải bài 2 trang 89 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12 là 1 vtcp.

Giải bài 2 trang 89 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

b) Hình chiếu của M trên (Oyz) là : M1(0 ; -3 ; 1)

Hình chiếu của N trên (Oyz) là : N1(0 ; -1 ; 4)

⇒ Hình chiếu của d trên (Oyz) chính là đường thẳng d1 đi qua M1 và N1

⇒ d1 nhận Giải bài 2 trang 89 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12 là 1 vtcp

Giải bài 2 trang 89 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 3 

Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:

Giải bài 3 trang 90 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Lời giải:

Giải bài 3 trang 90 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 3 trang 90 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 4

Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:

Giải bài 4 trang 90 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12Lời giải:

Giải bài 4 trang 90 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 5 

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:

Giải bài 5 trang 90 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Lời giải:

a) Giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d) và mp(α ) là nghiệm hệ phương trình:

Giải bài 5 trang 90 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Thay (1); (2); (3) vào (4) ta được:

3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) – (1 + t) – 2 = 0

⇔ 36 + 12t + 45 + 15t – 1 – t – 2 = 0

⇔ 26t + 78 = 0

⇔ t = -3

Vậy (d) cắt (α) tại một điểm M(0 ; 0 ; -2).

b) Giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d) và mp(α ) là nghiệm hệ phương trình:

Giải bài 5 trang 90 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Thay (1); (2); (3) vào (4) ta được:

1 + t + 3(2 – t) + 1 + 2t + 1 = 0

⇔ 0t + 9 = 0

Phương trình vô nghiệm

⇒ (d) không cắt (α).

c) Giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d) và mp(α) là nghiệm hệ phương trình:

Giải bài 5 trang 90 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Thay (1); (2); (3) vào (4) ta được:

1 + t + 1 + 2t + 2 – 3t – 4 = 0

⇔ 0t = 0

Phương trình có vô số nghiệm

⇒ (d) ⊂ (α)

hay (d) cắt (α) tại vô số điểm.

Bài 6 

Tính khoảng cách giữa đường thẳng …

Giải bài 6 trang 90 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Lời giải:

Xét phương trình:

2(-3 + 2t) – 2(-1 + 3t) + (-1 + 2t) + 3 = 0

⇔ 0t – 2 = 0

Phương trình vô nghiệm

⇒ (Δ) // (α).

Điểm A(-3; -1; -1) ∈ (Δ).

Giải bài 6 trang 90 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 7 

Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng …

Giải bài 7 trang 91 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Lời giải:

Giải bài 7 trang 91 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 8 

Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0

a)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α).

b)Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α).

c)Tính khoảng cách từ M đến mp(α).

Lời giải:

a) Đường thẳng MH vuông góc với (α)

⇒ MH nhận vtpt của (α) Giải bài 8 trang 91 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12 là 1 vtcp

Mà M(1; 4; 2) ∈ MH

⇒ Pt đường thẳng MH: Giải bài 8 trang 91 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ H(1 + t; 4 + t; 2 + t).

H ∈ (α) ⇒ 1 + t + 4 + t + 2 + t – 1 = 0 ⇔ t = -2.

⇒ H(-1; 2; 0).

b) M’ đối xứng với M qua (α)

⇒ H là trung điểm MM’

Giải bài 8 trang 91 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ M’(-3; 0; -2).

c) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) là:

Giải bài 8 trang 91 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 9 

Cho hai đường thẳng d:

Giải bài 9 trang 91 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Lời giải:

Giải bài 9 trang 91 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 10

Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A’BD) và (B’D’C).

Lời giải:

Giải bài 10 trang 91 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12Giải bài 10 trang 91 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài tập tự luyện Phương trình đường thẳng trong không gian

Làm các bài tập tự luyện cùng iToan sẽ gúp các em làm quen với các bài trắc nghệm theo từng bài học!

Phần câu hỏi

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d🙁x2)/3=(y+5)/4=(z2)/1. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?

A. u2=(3;4;1)

B. u1=(2;5;2)

C. u3=(2;5;2)

D. u3=(3;4;1)

Câu 2:

Phương trình đường thẳng

Câu 3:

Phương trình đường thẳng

Phần đáp án

1.A      2.C      3.D    4.B

Lời kết

Để học tốt môn toán 12 cũng như chuẩn bị tốt cho các kì thi sắp tới, các em hãy luyện tập thật nhiều những bài tập tự luyện trên Toppy. Toppy là nền tảng học trực tuyến với hàng ngàn bài học và trắc nghiệm theo từng chủ đề, cam kết sẽ giúp em học tiến bộ!

>>Xem thêm:

Minh Phương

Là 1 giáo viên Toán tôi luôn nỗ lực không ngừng để mang đến cho học sinh những bài học sinh động, lý thú, giúp các em vững vàng kiến thức và say mê, yêu thích môn Toán hơn.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *