Giá trị lượng giác của một cung – Học tốt toán 10 cùng itoan

Hôm nay, chúng ta sẽ tiếp tục đi tới bài tiếp theo – Giá trị lượng giác của một cung. Giá trị lượng giác của một cung sẽ cung cấp cho các em các kiến thức quan trọng về lượng giác. Đối với nhiều bạn, đây là một bài khá khó nhưng đừng vì vậy mà các em nản chí nhé. Để nắm chắc kiến thức trọng tâm này, các em hãy theo dõi phần bài soạn dưới đây của itoan cùng với video bài giảng itoan đã đính kèm ở dưới. itoan tin rằng với cách học trên, các em sẽ không còn cảm thấy môn toán hình khô khan và cứng nhắc nữa.

Mục tiêu bài học

Sau khi học xong buổi học này, các em cùng với itoan hãy cố gắng đạt được những mục tiêu sau nhé:

  • Nắm chắc và hiểu phần lý thuyết của bài học Giá trị lượng giác của một cung.
  • Xây dựng tư duy, cách nhận biết và phương pháp làm bài của các dạng bài tập cụ thể.
  • Hoàn thành các bài tập tự luyện và bài tập sách giáo khoa để củng cố kiến thức.

Kiến thức cần nắm 

I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG α

1. Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác cho cung Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án có sđ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án = α (còn viết Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án = α)

Tung độ y = Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án của điểm M gọi là sin của α và kí hiệu là sinα

sin α = Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Hoành độ x = Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án của điểm M gọi là côsin của α và kí hiệu là cosα

cos α = Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Nếu cos α ≠ 0, tỉ số Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án gọi là tang của α và kí hiệu là tan α (người ta còn dùng kí hiệu tg α)

Tan α = Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Nếu sinα ≠ 0 tỉ số Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp ángọi là côtang của α và kí hiệu là cotα (người ta còn dùng kí hiệu cotg α) Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Các giá trị sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của cung α. Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin.

Lý thuyết giá trị lượng giác của một cung

2. Hệ quả

1) sinα và cosα xác định với mọi α ∈ R. Hơn nữa, ta có:

sin(α + k2π) = sin α, ∀k ∈ Z;

cos(α + k2π) = cos α, ∀k ∈ Z

2) Vì –1 ≤ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án ≤ 1; –1 ≤ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án ≤ 1 nên ta có

–1 ≤ sin α ≤ 1

–1 ≤ cos α ≤ 1

3) Với mọi m ∈ R mà –1 ≤ m ≤ 1 đều tồn tại α và β sao cho sin α = m và cos β = m.

4) tanα xác định với mọi α ≠ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án  + kπ (k ∈ Z)

5) cotα xác định với mọi α ≠ kπ (k ∈ Z)

6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung = α trên đường tròn lượng giác.

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

Giá trị lượng giác | Góc phần tư I II III IV
cos α + +
sin α + +
tan α + +
cot α + +

3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Lý thuyết giá trị lượng giác của một cung

II. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG

1. Ý nghĩa hình học của tan α

Từ A vẽ tiếp tuyến t’At với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại A.

Gọi T là giao điểm của OM với trục t’At.

tanα được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án trên trục t’At. Trục t’At được gọi là trục tang.

Lý thuyết giá trị lượng giác của một cung

2. Ý nghĩa hình học của cot α

Từ B vẽ tiếp tuyến s’Bs với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại B.

Gọi S là giao điểm của OM với trục s’Bs

cot α được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án trên trục s’Bs. Trục s’Bs được gọi là trục côtang.

Lý thuyết giá trị lượng giác của một cung

III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

1. Công thức lượng giác cơ bản

Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau:

sin2α + cos2α = 1

Lý thuyết giá trị lượng giác của một cung

2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

1) Cung đối nhau: α và –α

cos(-α) = cosα

sin(-α) = –sinα

tan(-α) = –tanα

cot(-α) = –cotα

2) Cung bù nhau: α và π-α

sin(π-α) = sinα

cos(π-α) = –cosα

tan(π-α) = –tanα

cot(π-α) = –cotα

3) Cung hơn kém π : α và (α + π)

sin(α + π) = –sinα

cos(α + π) = –cosα

tan(α + π) = tanα

cot(α + π) = cotα

4) Cung phụ nhau: α và (Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án; – α)

sin( Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án; – α) = cosα

cos( Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án; – α) = sinα

tan( Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án; – α) = cotα

cot( Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án; – α) = tanα

Giải bài tập 

Bài 2 trang 141:

Nhắc lại khái niệm giá trị lượng giác của góc α, 0o ≤ α ≤ 180o. Ta có thể mở rộng khái niệm giá trị lượng giác cho các cung và góc lượng giác.

Hướng dẫn giải:

Các số sin⁡α; cos⁡α; tan⁡α; cot⁡α được gọi là giá trị lượng giác của góc α, với 0o ≤ α ≤ 180o.

Bài 2 trang 142:

Tính sin 25π/4, cos(-240o), tan(-405o).

Hướng dẫn giải:

sin 25π/4 = sin(6π + π/4) = sin π/4 = √2/2

cos(-240° ) = cos(-360° + 120°) = cos 120°= – 1/2

tan⁡(-405o ) = tan⁡(-360o – 45o) = -tan⁡45o = -1

Bài 2 trang 143:

Từ định nghĩa của sinα và cosα, hãy phát biểu ý nghĩa hình học của chúng.

Xét điểm M thuộc đường tròn lượng giác xác định bởi số α .

Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox và Oy.

Khi đó: cosα = OH¯; sinα = OK¯ .

Trong lượng giác, người ta gọi trục Ox là trục cô sin và trục Oy là trục sin.

Bài 2 trang 145:

Từ ý nghĩa hình học của tanα và cotα hãy suy ra với mọi số nguyên k, tan(α + kπ) = tanα, cot(α + kπ) = cotα.

Hướng dẫn giải:

Trên đường tròn lượng giác,từ A(1,0) vẽ tiếp tuyến t’At với đường tròn lượng giác.

Từ B(0,1) vẽ tiếp tuyến s’Bs với đường tròn lượng giác.

Cho cung lượng giác AM có số đo α (α ≠ π/2 + kπ ). Gọi T là giao điểm của OM với trục t’At.

Gọi S là giao điểm của OM và trục s’Bs.

Khi β = α + kπ thì điểm cuối của góc β sẽ trùng với điểm T trên trục tan. Do đó tan(α + kπ) = tanα. Khi β = α + kπ thì điểm cuối của góc β sẽ trùng với điểm S trên trục cot. Do đó cot(α + kπ) = cotα.

Bài 2 trang 148:

Tính cos(-11π/4), tan31π/6, sin(-1380o).

Bài 2 trang 148 sgk

Bài 1 (trang 148 SGK Đại Số 10):

Có cung α nào mà sinα nhận các giá trị tương ứng sau đây không ?

Giải bài 1 trang 148 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

Hướng dẫn giải:

Ta có: -1 ≤ sin α ≤ 1 với mọi α ∈ R. a) Vì -1 < –0,7 < 1 nên tồn tại cung α thỏa mãn sin α = -0,7.

Trên trục tung xác định điểm K sao cho Giải bài 1 trang 148 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M1 và M2.

Khi đó với Giải bài 1 trang 148 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10 thì theo định nghĩa sin α = Giải bài 1 trang 148 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

Bài 1 trang 148 sgk

b) Vì 4/3 > 1 nên không tồn tại α để sin α = 4/3.

c) Vì -√2 < -1 nên không tồn tại α để sin α = -√2.

d) Vì √5/2 > 1 nên không tồn tại α để sin α = √5/2

Bài 2 (trang 148 SGK Đại Số 10):

Các đẳng thức sau đây có thể đồng thời xảy ra không ?

Bài 2 trang 148 sgk

Hướng dẫn giải:

Bài 2 trang 148 sgk

Bài 2 trang 148 sgk

Bài 3 (trang 148 SGK Đại Số 10):

Cho 0 < α < π/2. Xác định dấu của các giá trị lượng giác:

Bài 3 trang 148 sg

Hướng dẫn giải:

Vì 0 < α < π/2 nên sin α > 0, cos α > 0, tan α > 0, cot α > 0.

Bài 3 trang 148 sgk

Cách 1: Dựa vào mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a) sin (α – π) = – sin (π – α) (Áp dụng công thức sin (- α) = – sin α) = -sin α (Áp dụng công thức sin (π – α) = sin α)

Mà sin α > 0 nên sin (α – π) < 0.

Bài 3 trang 148 sgk

c) tan (α + π) = tan α.

Mà tan α > 0 nên tan (α + π) > 0.

Bài 3 trang 148 sgk

Cách 2: Dựa vào biểu diễn cung trên đường tròn lượng giác:

Vì 0 < α < π/2 nên ta biểu diễn α = sđ Giải bài 3 trang 148 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10 như trên hình vẽ.

Bài 3 trang 148 sgk

Bài 3 trang 148

 

Lời kết

Bài học về Giá trị lượng giác của một cung đến đây là kết thúc. Các em hãy lưu ý rằng bài học hôm nay sẽ là một trong những phần kiến thức trọng tâm của bài thi học kỳ. Do đó, các em hãy dành thời gian ôn lại bài và học thật kỹ nha. Nếu có gì không hiểu về bài học hôm nay hay môn toán thì hãy liên hệ với itoan để có câu giải đáp nha. itoan chúc các em học thật tốt và hẹn gặp lại các em trong buổi học tiếp theo.

Xem thêm: 

5/5 - (1 bình chọn)

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.