Cung và góc lượng giác – Lý thuyết & lời giải bài tập SGK lớp 10
Cung và góc lượng giác là nội dung khiến nhiều bạn cảm thấy khá trừu tượng và khó hiểu nhưng đây là bài học quan trọng của toán lớp 10. Bài học này các em sẽ tiếp tục học khi học lên cao hơn vì vậy cần nắm chắc kiến thức để không bị khó khăn khi lên lớp. Để giúp các em tiếp thu kiến thức nhanh chóng và hiệu quả nhất, itoan đã chọn lọc lý thuyết và giải các bài tập cơ bản trong sách giáo khoa giúp các bạn dễ dàng nắm được nội dung bài học. Cùng itoan theo dõi nhé!
Mục tiêu bài học
Trước khi đi vào bài học chính, các em hãy cùng itoan xác định mục tiêu cần đạt được sau buổi học ngày hôm nay nhé!
- Nắm chắc và hiểu phần lý thuyết của bài học Cung và góc lượng giác.
- Xây dựng tư duy, cách nhận biết và phương pháp làm bài của các dạng bài tập cụ thể.
- Hoàn thành các bài tập tự luyện và bài tập sách giáo khoa để củng cố kiến thức.
Kiến thức cần nhớ
I. KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác
Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương.
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B.
Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là
2. Góc lượng giác
Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C tới D tạo nên cung lượng giác nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD.
Kí hiệu góc lượng giác đó là (OC, OD).
3. Đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R = 1.
Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A(1; 0), A’(–1; 0); B(0; 1); B(0; –1). T
a lấy A(1; 0) làm điểm gốc của đường tròn đó.
Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A).
II. SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
1. Độ và radian
a) Đơn vị radian Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad.
b) Quan hệ giữa độ và radian
c) Độ dài của một cung tròn
Trên đường tròn bán kính R, cung nửa đường tròn có số đo là π rad và có độ dài là πR. Vậy cung có số đo α rad của đường tròn bán kính R có độ dài l = Rα.
2. Số đo của một cung lượng giác
Số đo của một cung lượng giác 
(A ≠ M) là một số thực âm hay dương. Kí hiệu số đo của cung là sđ
Ghi nhớ
Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2π. Ta viết:
sđ = α + k2π , k ∈ Z
trong đó α là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A, điểm cuối là M.
3. Số đo của một góc lượng giác
Số đo của góc lượng giác (OA, OC) là số đo của cung lượng giác 
tương ứng.
Chú ý Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại.
4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
Chọn điểm gốc A(1; 0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo α trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđ = α
Giải bài tập cung và góc lượng trong sách giáo khoa
Bài 1 trang 136
Sử dụng máy tính bỏ túi để đổi từ độ sang radian và ngược lại.
a) Đổi 35o47’25’’ sang radian
b) Đổi 3 rad ra độ
Hướng dẫn giải:
a) Đổi 35o47’25’’ sang radian
b) Đổi 3 rad ra độ
Bài 1 trang 138:
Cung lượng giác AD (h.45) có số đo là bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải:
Cung lượng giác AD có số đo là:
2π + π/2 + π/4 = 11π/4
Bài 1 trang 139:
Tìm số đo của các góc lượng giác (OA, OE) và (OA, OP) trên hình 46 (điểm E là điểm chính giữa của cung(A’B’), sđ cung AP = 1/3 sđ cung AB). Viết số đo này theo đơn vị radian và theo đơn vị độ.
Hướng dẫn giải:
(OA, OE) = sđ cung(AE)= sđ cung(AB’) + sđ cung(B’E) = – 90o + (-45)o = -135o = -3/4π (rad)
(OA, OP) = sđ cung(AP)= 1/3 sđ cung(AB) = 1/3 . 90° = 30o = π/6 rad.
Bài 1 (trang 140 SGK Đại Số 10):
Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo khác nhau trên đường tròn lượng giác, có thể xảy ra trường hợp các điểm cuối của chúng trùng nhau không ? Khi nào trường hợp này xảy ra ?
Hướng dẫn giải:
Khi số đo hai cung lệch nhau k.2π (k ∈ Z) thì điểm cuối của chúng có thể trùng nhau. Chẳng hạn các cung α = π/3 và β = π/3 + 2π , γ = π/3 – 2π có điểm cuối trùng nhau khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Bài 2 (trang 140 SGK Đại Số 10):
Đổi số đo của các số sau đây ra radian
a. 18°
b.57°30’
c. – 25°
d. -125°45’
Hướng dẫn giải:
Bài 3 (trang 140 SGK Đại Số 10):
Đổi số đo của các cung sau đây ra độ, phút, giây
Hướng dẫn giải:
Bài 4 (trang 140 SGK Đại Số 10):
Một đường tròn có bán kính 20cm. Tìm độ dài các cung trên đường tròn, có số đo
Hướng dẫn giải:
Từ công thức l = Rα (α có đơn vị là rad) ta có:
Bài 5 (trang 140 SGK Đại Số 10):
Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo
Hướng dẫn giải:
Bài 6 (trang 140 SGK Đại Số 10):
Trên đường tròn lượng giác gốc A, xác định các điểm M khác nhau biết rằng cung AM có số đo tương ứng là (trong đó k là một số nguyên tùy ý)
a) Nếu k = 2n +1 (n ∈ Z) (thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π nên M ≡ M1
Nếu k = 2n (n ∈ Z) thì kπ = 2nπ nên M ≡ A
Bài 7 (trang 140 SGK Đại Số 10):
Trên đường tròn lượng giác cho điểm M xác định bởi sđ cung AM = α (0 < α < π/2). Gọi M1, M2, M3 lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc tọa độ. Tìm số đo các cung AM1, AM2, AM3.
Hướng dẫn giải:
Kết luận
Vậy là bài học về Cung và góc lượng giác của chúng ta hôm nay đến đây là kết thúc. Sau bài học này các em sẽ hiểu rõ hơn về Cung và góc lượng giác. Nếu các em còn thắc mắc vấn đề gì liên quan đến bài học hôm nay hay môn toán, hãy liên hệ ngay với itoan để được giúp đỡ nhé! Hẹn gặp lại các em trong bài học tiếp theo nhé!
Xem thêm:
