Tính chất ba đường cao của tam giác – Toán lớp 7

Ở chương trình toán tiểu học, các em đã được học về đường cao của tam giác. Các em có nhớ đường cao là gì và tính chất của nó như thế nào không nhỉ? Bài giảng: Tính chất ba đường cao của tam giác- Bài tập & Lời giải hôm nay, iToan sẽ giúp các em ôn tập lại khái niệm, tính chất và mối liên quan của ba đường cao trong tam giác.

Cùng học hỏi và ôn tập với iToan nhé!

Lý thuyết Tính chất ba đường cao của tam giác

Sau đây là những kiến thức cơ bản, ngắn gọn nhất các em cần ghi nhớ!

Đường cao của tam giác

• • • • Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.

Ví dụ: Đoạn thẳng AI là một đường cao của tam giác ABC, ta còn nói AI là đường cao xuất phát từ đỉnh A (của tam giác ABC).

• • • • Mỗi tam giác có ba đường cao.

Tính chất ba đường cao của tam giác

Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.

Ví dụ: H là giao điểm ba đường cao của tam giác ABC. H là trực tâm của tam giác ABC

Đường cao, trung tuyến trung trực, phân giác của tam giác cân

Tính chất của tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.

Nhận xét:

• • • • Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân
      • Đặc biệt đối với tam giác đều, từ tính chất trên suy ra: Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
      • 

Giải bài tập SGK Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài 58 (trang 83 SGK Toán 7 tập 2):

Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

Lời giải:

+ Xét ΔABC vuông tại A

AB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB

hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.

Mà AB cắt AC tại A

⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.

Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông

+ Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H.

+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó

Vậy E nằm ngoài A và B

⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngoài ΔABC.

+ Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC.

+ Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC.

Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

Bài 59 (trang 83 SGK Toán 7 tập 2):

Cho hình 57.

a) Chứng minh NS ⊥ LM

b) Khi góc LNP = 50^o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.

Lời giải:

a) Trong ΔMNL có:

LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.

MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.

Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S

Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.

⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.

hay SN ⊥ ML.

b)

+ Ta có : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :

ΔNMQ vuông tại Q có:

Bài 60 (trang 83 SGK Toán 7 tập 2):

Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).

Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.

Chứng minh KN ⊥ IM.

Lời giải:

l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.

N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.

IN và MJ cắt nhau tại N .

Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.

⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.

Vậy KN ⏊ IM

Bài 61 (trang 83 SGK Toán 7 tập 2):

Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.

a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.

b) Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC.

Lời giải:

Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.

⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.

a) ΔHBC có :

AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.

BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC

CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.

AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.

b) Tương tự :

+ Trực tâm của ΔHAB là C (C là giao điểm của ba đường cao : CF, AC, BC)

+ Trực tâm của ΔHAC là B (B là giao điểm của ba đường cao : BE, AB, CB)

Bài 62 (trang 83 SGK Toán 7 tập 2):

Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

Lời giải:

+ TH1: Xét ΔABC vuông tại A có các đường cao AD, BA, CA.

BA, CA là hai đường cao xuất phát từ hai góc nhọn B và C của ΔABC.

AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A (đpcm).

+ TH2: Xét ΔABC không có góc nào vuông, hai đường cao BD = CE (như hình vẽ minh họa)

Xét hai tam giác vuông EBC và DCB có :

BC (cạnh chung)

CE = BD (giả thiết)

⇒ ∆EBC = ∆DCB (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

+ Xét ΔABC ba đường cao BD = CE = AF (như hình vẽ minh họa)

CE = BD ⇒ ΔABC cân tại A (như cmt) ⇒ AB = AC.

CE = AF ⇒ ΔABC cân tại B (như cmt) ⇒ AB = BC:

⇒ AB = AC = BC

⇒ ΔABC đều.

Bài tập tự luyện Tính chất ba đường cao của tam giác

Các bài tập tự luyện giúp các em rèn luyện và ôn tập kiến thức:

Phần câu hỏi

Câu 1: Chọn phát biểu đúng:

A. Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm, điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác.

B. Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm, điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.

C. Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm, điểm đó gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

D. Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm, điểm đó được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Câu 2: Chọn phát biểu đúng:

A. Trong tam giác cân, trực tâm cũng là trọng tâm của tam giác.

B. Trực tâm của tam giác cân nằm trên đường trung trực ứng với cạnh đáy.

C. Trong tam giác vuông, trực tâm là trung điểm của cạnh huyền.

D. Trong tam giác cân không vuông, trực tâm luôn nằm trong tam giác.

Câu 3: Cho H là trực tâm của tam giác FGI không vuông. Trực tâm △HIF là điểm: …

A. G

B. H

C. I

D. F

Câu 4: Cho tam giác CDE vuông tại D, đường cao DF. Trực tâm ΔCFD là…

A. C

B. D

C.E

D. F

Phần đáp án

1.B      2.B      3.A     4.A

Lời kết

Bài học Tính chất ba đường cao của tam giác kết thúc tại đây. Để học tốt Hình học lớp 7, các em cần nắm vững kiến thức của các đường, các góc và mối liên hệ của chúng với nhau trong một tam giác.

Cùng chinh phục môn Toán với các thầy cô giáo Toppy nhé!

>>Xem thêm các bài giảng tại iToan:

• Diện tích hình tam giác
• Đường kính và dây của đường tròn
• Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
• Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau