Hai đường thẳng vuông góc – Toán 11

5/5 - (4 bình chọn)

Bài học trước chúng ta đã học về hai đường thẳng song song . Trong bài học hôm nay chúng ta sẽ nhắc đến một trường hợp đặc biệt khác của hai đường thẳng . Đó chính là “ Hai đường thẳng vuông góc “ , bài giảng do Itoan biên soạn theo chương trình mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo bộ môn Toán lớp 11 Hình học . Cùng khám phá bài học mới với Itoan ngay nhé !

Mục tiêu bài học : Hai đường thẳng vuông góc 

Bài học này sẽ đáp ứng cho các bạn những kiến thức sau đây :

  • Khái niệm về hai đường thẳng vuông góc
  • Tính chất của hai đường thẳng vuông góc
  • Hoàn thiện bài tập trong SGK Toán từ cơ bản đến nâng cao

Kiến thức cơ bản của bài học : Hai đường thẳng vuông góc 

Dưới đây là những phần nội dung lý thuyết quan trọng của bài học

I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. Góc giữa hai vectơ trong không gian

Định nghĩa

Trong không gian,nếu ta cho u→ và v→ là hai vectơ khác 0→. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho AB→ = u→AC→ = v→. Khi đó ta gọi góc BAC ( 0° ≤ ∠BAC ≤ 180°) là góc giữa hai vectơ u→ và v→ trong không gian, kí hiệu là (u→v→).

ly-thuyet-hai-duong-thang-vuong-goc

2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Định nghĩa

Trong không gian, cho hai vectơ u→ và v→ đều khác 0→. Tích vô hướng của hai vectơ u→ và v→ là một số, kí hiệu là u→.v→, được xác định bởi công thức:

u→.v→ = |u→|.|v→|.cos(u→v→)

Trong trường hợp u→ = 0→ hoặc v→ = 0→, ta quy ước u→.v→ = 0.

II. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1. Định nghĩa

Ta có được định nghĩa như sau : Vectơ a→ khác 0→ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ a→ song song hoặc trùng với đường thẳng d.

ly-thuyet-hai-duong-thang-vuong-goc

2. Nhận xét

a) Nếu a→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ ka→ với k ≠ 0 cũng là vectơ chỉ phương của d.

b) Một đường thẳng trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương a→ của nó.

c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.

III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Định nghĩa

Ta có định nghĩa về góc hai đường thẳng như sau : Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

ly-thuyet-hai-duong-thang-vuong-goc

2. Nhận xét

a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

b) Nếu u→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và v→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và (u→v→) = α thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng α nếu 0° ≤ α ≤ 90° và bằng 180° – α nếu 90° < α < 180°. Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°.

IV. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1. Định nghĩa

Định nghĩa về hai đường  thẳng vuông góc như sau Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.

Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a ⊥ b.

2. Nhận xét

a) Nếu u→ và v→ lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì: a ⊥ b ⇔ u→.v→ = 0.

b) Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Hướng dẫn giải bài tập Toán 11 SGK bài học : Hai đường thẳng song song 

Cùng nhau luyện tập bằng những bài tập cơ bản trong SGK dưới đây nhé !

Bài 1 :

Ta có đề bài như sau : Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

Giải bài 1 trang 97 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

hai-duong-thang-vuong-goc

Giải bài 1 trang 97 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 2 : 

Đề bài cho chúng ta những dữ liệu sau đây : Cho tứ diện ABCD

Giải bài 2 trang 97 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 2 trang 97 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 3 :

Đề bài toán như sau :

a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b có song song với nhau không?

b) Trong không gian nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với c không?

Lời giải:

a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì nói chung a và b không song song với nhau vì a và b có thể cắt nhau hoặc có thể chéo nhau.

b) Trong không gian nếu a ⊥ b và b ⊥c thì a và c vẫn có thể cắt nhau hoặc chéo nhau do đó, nói chung a và c không vuông góc với nhau.

Ví dụ. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có:

+ AB và BC cùng vuông góc với BB’ nhưng AB và BC cắt nhau tại B.

+ AB và A’D’ cùng vuông góc với BB’ nhưng AB và BC chéo nhau.

Bài 4 :

Đề bài gồm những dữ liệu sau đây : Cho hai tam giác đều ABC và ABC trong không gian có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC và CA.

Chứng minh rằng:

a) AB ⊥ CC

b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Lời giải:

hai duong thang vuong goc

Giải bài 4 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 4 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 4 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 4 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 5 :

Cùng đọc đề và suy luận :

Giải bài 5 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 5 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 6 :

Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABCD có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O. Chứng minh rằng AB ⊥OO và CDDC là hình chữ nhật.

Lời giải:

Giải bài 6 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11Giải bài 6 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

+) Vì hai hình vuông ABCD và ABC’D’ có cùng độ dài cạnh là AB

nên hai đường chéo bằng nhau: AC = AC’.

Suy ra: AO = AO’ hay |AO’→| = |AO→| .

Suy ra: AB→.OO’→ = 0 ⇒ AB ⊥ OO’

Giải bài 6 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 7 :

Đề bài của chúng ta như sau : Cho S là diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng :

Giải bài 7 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 7 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 8 :

Đề bài cho chúng ta biết những dữ liệu sau đây :

Giải bài 8 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Tam giác ABC có AB = AC và góc BAC =60o nên tam giác ABC là tam giác đều.

Tương tự, tam giác ABD là tam giác đều.

Giải bài 8 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 8 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời kết : 

Với bài giảng chi tiết , đầy đủ kết hợp với các ví dụ và cách giải ngắn gọn , Itoan mong rằng các bạn đã hiểu bài và hoàn toàn có thể áp dụng vào làm những bài tập tương tự khác . Các bạn có thể tham khảo thêm những bài học hay tại : https://www.toppy.vn/

Chúc các bạn học tập tốt !

Xem thêm :

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *