Một số phương trình lượng giác thường gặp – Học tốt Đại số 11

5/5 - (4 bình chọn)

Phương trình lượng giác là phần kiến thức quan trọng trong chương trình Đại số 11. Trong các bài trước, chúng ta đã được học về Hàm số lương giác và phương trình lượng giác. Hôm nay iToan sẽ đem đến cho các em bài học: Một số phương trình lượng giác thường gặp, do các thầy cô giáo giàu kinh nghiệm biên soạn, theo sát chương trình sách giáo khoa.

Mục tiêu bài học

Qua bài giảng này, các em cần nắm được các kiến thức sau:

  • Phương trình bậc nhất, bậc hai với hàm số lượng giác
  • Phương trình bậc nhất với sin x và cos x
  • Hướng dẫn giải bài tập SGK
  • Bài tập tự luyện

Lý thuyết cần nắm Phương trình lượng giác

Tổng hợp lý thuyết cơ bản nhất, được trình bày một cách chi tiết, giúp các em nắm được kiến thức một cách hiệu quả!

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

1. Định nghĩa

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

at+b=0

Với a,b là các hằng số a0 và t là một hàm số lượng giác nào đó.

2. Cách giải

at+b=0t=ba đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ

3–√cotx3=0cotx=3–√=cotπ6

x=π6+kπ,kZ

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a. 5cosx2sin2x=0;

b. 8sinxcosxcos2x=1.

Giải

a. Ta có 5cosx2sin2x=05cosx4sinxcosx=0

Phương trình lượng giác

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

at^2+bt+c=0

Trong đó a,b,c là các hằng số (a0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

2. Cách giải

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho các ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

Ta có bảng sau:

Phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác

3. Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Có nhiều phương trình lượng giác mà khi giải có thể đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Ví dụ: 

Phương trình lượng giác

Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

1. Công thức biến đổi biểu thức asinx+bcosx

Phương trình lượng giác

2. Phương trình dạng asinx+bcosx=c

  • Xét phương trình asinx+bcosx=c, với a,b,cR;a,b không đồng thời bằng 0(a^2+b^20).
  • Nếu a=0,b0 hoặc a0,b=0, phương trình asinx+bcosx=c có thể đưa ngay về phương trình lượng giác cơ bản. Nếu a0,b0, ta áp dụng công thức (I).

Ví dụ: Giải phương trình

sinx+√3 cosx=1.

Giải

Theo công thức (I) ta có

Phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác.

Giải bài tập SGK Đại số 11 Phương trình lượng giác

Bài 1: Giải phương trình: sin2x – sin x = 0

Lời giải:

Giải bài 1 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 1 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z).

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cos x + 1 = 0

b) 2sin 2x + √2.sin4x = 0.

Lời giải:

a. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

đặt t = cosx, điều kiện –1 ≤ t ≤ 1

(1) trở thành 2t2 – 3t + 1 = 0

Giải bài 2 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (thỏa mãn điều kiện).

+ t = 1 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k.2π (k ∈ Z)

Giải bài 2 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 2 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z).

Giải bài 2 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 2 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z)

Bài 3: Giải các phương trình sau:

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (Phương trình bậc hai với ẩn Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 ).

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có họ nghiệm x = k4π (k ∈ Z)

b. 8cos2x + 2sinx – 7 = 0 (1)

⇔ 8(1 – sin2x) + 2sinx – 7 = 0

⇔ 8sin2x – 2sinx – 1 = 0 (Phương trình bậc hai với ẩn sin x)

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có tập nghiệm {Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 + k2π; Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 + k2π; arcsinGiải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 + k2π; π – arcsinGiải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 + k2π (k ∈ Z).

c. Điều kiện: Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

2tan2x + 3tanx + 1 = 0 (Phương trình bậc 2 với ẩn tan x).

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có tập nghiệm {Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 + kπ; arctanGiải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 + kπ} (k ∈ Z)

d. Điều kiện Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

tanx – 2.cotx + 1 = 0

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (Thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có tập nghiệm {Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 + kπ; arctan(-2) + kπ} (k ∈ Z)

Bài 4 : Giải các phương trình sau:

a. 2sin2 x + sinx.cosx – 3cos2 x = 0

b. 3sin2 x – 4 sinx.cosx + 5 cos2 x =2

c. sin2 x + sin2x – 2 cos2 x = 1/2

d. 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4

Lời giải:

a) 2sin2x + sinx.cosx – 3cos2x = 0 (1)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

Phương trình (1) trở thành: 2 = 0 (loại)

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế của (1) cho cos2x ta được:

Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z)

b) 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2

⇔ 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2(sin2x + cos2x)

⇔ sin2x – 4sinx.cosx + 3 cos2x = 0 (1)

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 1.

Phương trình (1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được

Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z)

Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

(1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế cho cos2x ta được:

Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z)

Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z)

Bài 5: Giải các phương trình sau:

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z)

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Ta có: Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 nên tồn tại α thỏa mãn Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

(1) trở thành: cos α.sin3x – sin α.cos 3x = 1

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có họ nghiệm Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z)

với α thỏa mãn Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z)

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vì Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 nên tồn tại α thỏa mãn Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

(*) ⇔ cos α.cos 2x + sin α. sin 2x = 1

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có họ nghiệm Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z)

với α thỏa mãn Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 6: Giải các phương trình sau:

a. tan(2x + 1).tan(3x – 1) = 1

b. tanx + tan (x+π/4) = 1

Lời giải:

a. Điều kiện: Giải bài 6 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 6 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có họ nghiệm Giải bài 6 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z).

b. Điều kiện:

Giải bài 6 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

⇔ tan x.(1 – tanx) + tanx + 1 = 1 – tan x.

⇔ tan x – tan2x + 2.tan x = 0

⇔ tan2x – 3tanx = 0

⇔ tanx(tanx – 3) = 0

Giải bài 6 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 6 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: {arctan 3+kπ; k ∈ Z }

Bài tập tự luyện Phương trình lượng giác

Bài tập tự luyện do iToan biên soạn sẽ giúp các em luyện tập cách suy nghĩ, giải nhanh và tư duy logic!

Phần câu hỏi

Câu 1: Phương trình: 1+sin2x=0 có nghiệm là:

A. x=π/2+k2π.

B. x=π/4+kπ.

C. x=π/4+k2π.

D. x=π/2+kπ

Câu 2:

Phương trình lượng giác

Câu 3:

Phương trình lượng giác

Câu 4:

Phương trình lượng giác

Phần đáp án

1.B       2.B     3.B      4.B

Lời kết

Để làm tốt các bài toán về phương trình lượng giác, các em cần hiểu và nhớ rõ tập xác định, tập nghiệm của các phương trình cơ bản. Các em có thể làm thêm nhiều bài tập tự luyên từ tự luận đến nâng cao tại Toppy. Toppy là nền tảng học trực tuyến giúp em tiết kiệm thời gian, chi phí mà vẫn học tập hiệu quả.

Chúc các em học tốt và đạt nhiều điểm cao!

>> Xem thêm:

Minh Phương

Là 1 giáo viên Toán tôi luôn nỗ lực không ngừng để mang đến cho học sinh những bài học sinh động, lý thú, giúp các em vững vàng kiến thức và say mê, yêu thích môn Toán hơn.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *