Vectơ trong không gian – Học tốt toán lớp 11

5/5 - (4 bình chọn)

Hôm nay chúng ta sẽ chuyển sang một chủ điểm mới của phần Hình học lớp 11 . Bài trước chúng ta đã học về đường thẳng , mặt phẳng nhưng hôm nay . chúng ta sẽ được học về Vecto . Đây là phần kiến thức còn mới lạ với các bạn . Vậy hãy cùng nhau đi tìm hiểu với Itoan ngay với bài học “ Vecto trong không gian “nhé!

Mục tiêu bài học : Vectơ trong không gian 

Sau bài học hôm nay . các bạn cần nắm vững những kiến thức sau :

  • Khái niệm về Vectơ trong không gian
  • Những tính chất cũng như các dạng bài tập liên quan
  • Hoàn thiện toàn bộ bài tập cơ bản SGK

Kiến thức cơ bản của bài học : Vecto trong không gian 

Dưới đây là những kiến thức lý thuyết của bài học , các bạn hãy tập trung lắng nghe

I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vectơ, được kí hiệu là AB→.

Định nghĩa

Ta có định nghĩa như sau đây : Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu AB→ chỉ vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là a→b→x→y→, …

Các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, vectơ – không, sự bằng nhau của hai vectơ, … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

II. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

Trong không gian cho ba vectơ abc đều khác vectơ – không. Nếu từ một điểm O bất kì ta vẽ OA = aOB = bOC = c thì có thể xả ra hai trường hợp:

+ Trường hợp thứ nhất xảy ra là : Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng vectơ abc không đồng phẳng.

+ Trường hợp thứ hai xảy ra là : Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thi ta nói ba vectơ abc đồng phẳng.

Trong trường hợp này giá của các vectơ abc luôn luôn song song với một mặt phẳng.

ly-thuyet-vecto-trong-khong-gian

a) Ba vectơ abc không đồng phẳng

ly-thuyet-vecto-trong-khong-gian

b) Ba vectơ abc đồng phẳng

Chú ý: Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.

Từ đó ta có định nghĩa sau đây:

2. Định nghĩa

Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Ba vectơ đồng phẳng và từ định lí về một vectơ theo hai vectơ hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳng chúng ta có thể chứng minh được định lí sau đây:

Định lí 1

Trong không gian cho hai vectơ ab không cùng phương và vectơ c→. Khi đó ba vectơ abc đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c = ma+ nb. Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.

Định lí 2

Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng abc. Khi đó với mọi vectơ x ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x = ma + nb + pc Ngoại ra bộ ba số m, n, p là duy nhất.

Hướng dẫn giải bài tập SGK Toán 11 bài học : Vecto trong không gian 

Khi đã học xong phần lý thuyết thì bây giờ chúng ta sẽ cùng nhau làm một số bài tập để kiểm tra lại kiến thức của mình

Bài 1 :

Chúng ta có đề bài như sau : Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.ABCD. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh bên AA, BB, CC, DD lần lượt tại I, K, L, M. Xét các vectơ có các điểm đầu là các điểm I, K, L, M và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ. Hãy chỉ ra các vectơ:

Giải bài 1 trang 91 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 1 trang 91 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 1 trang 91 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 2 :

Đề bài cho chúng ta những dữ liệu sau đây : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD. Chứng minh rằng:

Giải bài 2 trang 91 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 2 trang 91 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 2 trang 91 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 2 trang 91 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 2 trang 91 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 3 : 

Đề bài cung cấp cho chúng ta những dữ liệu sau đây : Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng: Giải bài 3 trang 91 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 3 trang 91 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 4 : 

Đề bài cung cấp cho t những dữ kiện sau đây :  Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của AB và CD.

Giải bài 4 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 4 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11 Giải bài 4 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 4 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 5 : 

Đề bài cho ta như sau : Cho hình tứ diện ABCD. Hãy xác định hai điểm E, F sao cho :

 inline;

Lời giải:

 inline;

a) Lấy điểm G sao cho  inline;

⇒ G là đỉnh còn lại của hình bình hành ABGC.

Khi đó  inline;

⇒ E là đỉnh còn lại của hình bình hành AGED.

Hay E là đường chéo của hình hộp có ba cạnh lần lượt là AB; AC; AD.

 inline;

⇒ F là đỉnh còn lại của hình bình hành ADGF

Hay F là điểm đối xứng với E qua G.

Bài 6 :

Bài tập của chúng ta như sau : Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Giải bài 6 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 6 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 7 : 

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn MN và P là một điểm bất kỳ trong không gian. Chứng minh rằng :

Giải bài 7 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 7 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11 Giải bài 7 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 8 : 

Đề bài của chúng ta gồm những dữ liệu sau đây : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA’→=a→; AB→=b→; AC→=c→ . Hãy phân tích (hay biểu thị) các vectơ B’C→, BC’→ qua các vectơ a→ ,b→ , c→

Lời giải:

Giải bài 8 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11Giải bài 8 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 9 :

Đề bài của chúng ta như sau :

Giải bài 9 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 9 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11 Giải bài 9 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Do đó, ba vecto AB→ , MN→ , SC→ đồng phẳng

Bài 10 : 

Giải bài 10 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 10 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

+ Hình bình hành ADHE có:

K = AH ∩ DE ⇒ KA = KH.

Hình bình hành BDHF có:

I = BH ∩ FD ⇒ IH = IB.

ΔHAB có: KA= KH; IH = IB

⇒ KI là đường trung bình của ΔHAB

⇒ KI // AB.

⇒ KI // (ABCD).

+ FG // BC

⇒ FG // (ABCD)

Giải bài 10 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11 có giá là AC; KI; FG song song với (ABCD)

⇒ Giải bài 10 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11 đồng phẳng.

Lời kết : 

Bài học kết thúc , Itoan mong rằng các bạn đều đã hiểu bài . Trên đây bao gồm cả phần kiến thức lẫn bài tập sẽ thuận tiện trong quá trình ôn tập , tra cứu bài học của các bạn . Các bạn có thể tham khảo thêm những bài học khác tại : https://www.toppy.vn/

Chúc các bạn học tập tốt !

Xem thêm :

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *