Hàm số liên tục – Bài tập & Lời giải Đại số 11

Bài giảng: Hàm số liên tục – Bài tập & Lời giải Đại số 11 được iToan biên soạn dựa theo kiến thức từ sách giáo khoa lớp 11. Với lý thuyết chi tiết, hướng dẫn giải SGK và các bài tập tự luyện, hy vọng sẽ giúp các em nắm được kiến thức trên lớp, đồng thời tự luyện và mở rộng kĩ năng làm bài tập liên quan. Mời các em học sinh thân yêu tham khảo!

Mục tiêu bài học

Bài giảng bao gồm các phần sau đây:

• Hàm số liên tục trên một điểm, một khoảng
• Một số định lý cơ bản gần ghi nhớ
• Hướng dẫn giải bài tập SGK
• Các bài tập tự luyện

Lý thuyết cần nắm

Tổng hợp các kiến thức cơ bản, chi tiết nhất giúp các em nắm vững bài học!

Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa 1
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K và  x0∈K.

• Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại  x0  nếu  limx→x0 f(x)=f(x0)
• Hàm số y=f(x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

Hàm số liên tục trên một khoảng

Định nghĩa 2

• Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Nhận xét
Đồ thị của 1 hàm số liên tục trên 1 khoảng  là 1 “đường liền”   trên khoảng đó.

Một số định lý cơ bản

Định lí 1:
a. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R .
b. Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm lượng giác liên tục trên tùng khoảng xác định của chúng.

Định lí 2:

Giả sử y=f(x) và y=g(x) là hai hàm liên tục tại điểm x0. Khi đó:
a. Các hàm số y=f(x)+g(x),y=f(x)−g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại điểm x0.
b. Hàm số y=f(x)/ g(x) liên tục tại điểm x0 nếu g(x0)≠0.

Định lí 3:

Nếu hàm y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a;b) sao cho f(c)=0.
Có thể phát biểu định lí 3 dưới một dạng khác như sau:
Nếu hàm y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 , thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a,b).

Phương pháp chứng minh phương trình có \(k\) nghiệm trong [a ; b]
Cho phương trình f(x)=0(∗)
Để chứng minh phương trình (*) có k nghiệm trong [a;b] , ta thực hiện các bước sau :

Bước 1: Chọn các số a<T1<T2<...<Tk−1<;b chia đoạn (a;b) thành k đoạn thỏa mãn :

Hàm y=f(x) liên tục trên [a;b] nên liện tục trên k đoạn [a;T1];[T1;T2];…;[Tk−1;b].

Ví dụ: Cho phương trình: 2x^3−6x+1=0 . Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm thuộc khoảng (−2;2) .

Giải

Xét hàm số f(x)=2x^3−6x+1, do f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R. Do đó, f(x) liên tục trên (−2;2).
Ta có : f(−2)=−3;  f(0)=1;  f(1)=−3;  f(2)=5.
Suy ra : f(−2).f(0)<0;  f(0).f(1)<0  và   f(1).f(2)<0 .
Do đó phương trình : 2x^3−6x+1=0 có 3 ngiệm thuộc khoảng (−2;2).

Giải bài tập SGK Đại số 11 Hàm số liên tục

Tổng hợp bài tập & Lời giải chi tiết, dễ hiểu nhất do iToan biên soạn, giúp các em giải đáp thắc mắc và so sánh kết quả!

Bài 1

Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hà số f(x)=x³+2x-1 tại x₀=3.

Lời giải:

Bài 2

a) Xét tính liên tục của hàm y = g(x) tại x₀ = 2, biết :

b.Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm liên tục tại x₀=2.

Lời giải:

a) Ta có: g(2) = 5.

⇒ g(x) không liên tục tại x = 2.

b) Để g(x) liên tục tại x = 2

Vậy để hàm số liên tục tại x = 2 thì cần thay 5 bằng 12.

Bài 3

Cho hàm số

a. Vẽ đồ thị hàm số y= f(x). Từ đó nêu nhận xét vê tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.

b. Khẳng định nhận xét trên bằng 1 chứng minh.

Lời giải:

a) Đồ thị hàm số (hình bên).

Quan sát đồ thị nhận thấy :

+ f(x) liên tục trên các khoảng (-∞ ; -1) và (-1 ; ∞).

+ f(x) không liên tục tại x = -1.

⇒ không tồn tại giới hạn của f(x) tại x = -1.

⇒ Hàm không liên tục tại x = -1.

Bài 4

Cho các hàm số  và g(x) = tan(x) + sin(x)

Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm liên tục.

Lời giải:

Bài 5

Ý kiến sau đúng hay sai?

“Nếu hàm y = f(x) liên tục tại điểm x₀ và hàm y = g(x) không liên tục tại x₀, thì y = f(x) + g(x) là một hàm không liên tục tại x₀“.

Lời giải:

Ý kiến trên đúng.

Vì giả sử ngược lại hàm y = h(x) = f(x) + g(x) là liên tục tại x₀. Khi đó, hàm g(x) = h(x) – f(x) là hiệu của hai hàm số liên tục tại x₀ nên hàm số g(x) là hàm liên tục x₀ ( định lí về hàm số liên tục)

=> Mâu thuẫn với giả thiết là hàm số g(x) không liên tục tại x₀.

Bài 6

Chứng minh rằng phương trình:

a. 2x³ – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b. cos x = x có nghiệm

Lời giải:

a. Đặt f(x) = 2x³ – 6x + 1

TXĐ: D = R

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

Ta có: f(-2) = 2.(-2)³ – 6(-2) + 1 = – 3 < 0

f(0) = 1 > 0

f(1) = 2.1³ – 6.1 + 1 = -3 < 0.

⇒ f(-2).f(0) < 0 và f(0).f(1) < 0

⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2; 0) và ít nhất một nghiệm thuộc (0 ; 1)

⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b. Xét g(x) = x – cos x liên tục trên R.

do đó liên tục trên đoạn [-π; π] ta có:

g(-π) = -π – cos (-π) = -π + 1 < 0

g(π) = π – cos π = π – (-1) = π + 1 > 0

⇒ g(-π). g(π) < 0

⇒ phương trình x – cos x = 0 có nghiệm trong (-π; π) tức là cos x = x có nghiệm.

Bài tập tự luyện Hàm số liên tục

Luyện tập thêm các bài tập nâng cao &mở rộng sẽ giúp các em củng cố và ghi nhớ kiến thức lâu hơn!

Phần câu hỏi

Câu 1:

Câu 2:

Câu 3:

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (I)và(II)

C. Chỉ (II)và (III)

D. Cả (I)(II) (III)

Câu 4:

trên

B. Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tạix=4

C. Hàm số không liên tục tại x=4

D. Tất cả đều sai

Phần đáp án

1.C     2.D       3.B      4.A

Lời kết

Các em đã hiểu hết phần kiến thức lý thuyết và tự làm được các bài tập phía trên chưa? Để ôn tập nhiều hơn và mở rộng vốn kiến thức của mình, các em có thể học trực tuyến trên Toppy. Toppy là nền tảng học tập trực tuyến, giúp em củng cố và mở rộng kiến thức qua các bài giảng thú vị và kho tài liệu phong phú.

>> Xem thêm:

• Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
• Khoảng cách Toán 11- Học tốt 
• Tổng hợp lý thuyết về hàm số
• Nguyên hàm- Học tốt Toán 12