Nguyên hàm – Cùng itoan chinh phục SGK Giải tích lớp 12

5/5 - (4 bình chọn)

Nội dung học Nguyên Hàm nằm trong Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng môn Giải Tích Lớp 12, qua bài học này các bạn sẽ được nắm bắt các khái niệm và tính chất của nguyên hàm. Bên cạnh đó bài học còn giới thiệu đến các bạn công thức tìm nguyên hàm của một hàm số cơ bản, các phương pháp tìm nguyên hàm của một hàm số là phương pháp biến đổi và phương pháp nguyên hàm từng phần. Hãy cùng itoan bắt đầu bài học luôn nhé!

Mục tiêu của bài học Nguyên hàm

Kiến thức bài học hôm nay có đôi chút liên quan đến những bài học trước, các bạn cố gắng học tốt những bài học trước và đặt ra mục tiêu cụ thể cho bài học hôm nay nhé! 

  • Hiểu được định nghĩa nguyên hàm của hàm số trên K, phân biệt rõ một nguyên hàm với họ nguyên hàm của một hàm số.
  • Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm.
  • Nắm được các phương pháp tính nguyên hàm.
  • Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm.
  • Sử dụng phương pháp đổi biến số, phương pháp tính nguyên hàm từng phần để tính nguyên hàm.

Lý thuyết bài học Nguyên hàm

Dưới đây là một số phần kiến thức quan trọng cơ bản cô đã biên soạn cho bài học hôm nay, các bạn nhớ học bài kỹ trước khi làm bài tập nhé!

I. Nguyên hàm và tính chất

1. Nguyên hàm

a. Định nghĩa

Cho hàm số f(x)  xác định trên K.

Hàm số F(x)  được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F(x)=f(x)  với mọi xK .

Ví dụ 

Hàm số F(x)=x3  là một nguyên hàm của hàm số f(x)=3x2  trên khoảng (;+)

vì F(x)=(x3)=3x2=f(x),x(;+) .

b. Định lí 1. 

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)  trên K  thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+C  cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

c. Định lí 2. 

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)  trên K  thì mọi nguyên hàm của  f(x)  trên K đều có dạng F(x)+C, với C là một hằng số.

Kí hiệu: f(x)dx=F(x)+C.

Chú ý:

Biểu thức f(x)  chính là vi phân của của nguyên hàm F(x)  của f(x) , vì dF(x)=F(x)dx=f(x)dx .

Ví dụ: 

a) Với x(;+),2xdx=x2+C

b) với t(;+),costdt=sint+C

2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1. f(x)dx=f(x)+C.

Tính chất 2. kf(x)dx=kf(x)dx (với k là hằng số khác 0)

Tính chất 3. [f(x)±g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx .

Ví dụ

a) (sinx)dx=cosxdx=sinx+C

b) 3exdx=3exdx=3ex+C

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí 3: Mọi hàm số f(x)  liên tục trên K  đều có nguyên hàm trên K.

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

nguyên hàm

II. Các phương pháp tính nguyên hàm

1. Phương pháp đổi biến

a) Định lí 1: Nếu f(u)du=F(u)+C với u=u(x) có đạo hàm liên tục thì f(u(x))u(x)dx=F(u(x))

b) Hệ quả: Nếu f(u)du=F(u)+C thì f(ax+b)dx=(1/a)F(ax+b)+C,(a0)

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

a. Định lí 2

Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì u(x)v(x)dx=u(x)v(x)u(x)v(x)dx

b. Chú ý

Vì v(x)dx=dv,u(x)dx=du nên đẳng thức trên còn được viết ở dang udv=uvvdu

Sẽ dễ dàng hơn khi tiếp thu kiến thức mới nếu bạn kết học học lý thuyết và nghe giảng qua video dưới đây!

Hướng dẫn giải bài tập SGK: Nguyên hàm

Để nắm chắc lý thuyết, cô và các bạn cùng nhau giải các bài tập trong sách giáo khoa nhé!

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 93: 

Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu:

a) f(x) = 3x2 với x ∈ (-∞; +∞);

b) f(x) = 1/(cos⁡x)2 với x ∈ ((-π)/2; π/2).

Lời giải:

F(x) = x3 vì (x3)’ = 3x2

F(x) = tanx vì (tanx)’ = 1/(cos⁡x)2 .

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 93: 

Hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong Ví dụ 1.

Lời giải:

(x) = x2 + 2 do (F(x))’=( x2 + 2)’ = 2x + 0 = 2x. Tổng quát F(x) = x2 + c với c là số thực.

F(x) = lnx + 100, do (F(x))’ = 1/x , x ∈ (0,+∞). Tổng quát F(x)= lnx + c, x ∈ (0,+∞) và với c là số thực.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 93: 

Hãy chứng minh Định lý 1.

Lời giải:

Vì F(x) là nguyên hàm của f(x) trên K nên (F(x))’ = f(x). Vì C là hằng số nên (C)’ = 0.

Ta có:

(G(x))’ = (F(x) + C)’ = (F(x))’ + (C)’ = f(x) + 0 = f(x)

Vậy G(x) là một nguyên hàm của f(x).

Lời giải:

Ta có [∫f(x) ± ∫g(x)]’= [∫f(x) ]’± [∫g(x) ]’ = f(x)±g(x).

Vậy ∫f(x) ± ∫g(x) = ∫[f(x)±g(x)].

Lời giải:

f’(x) f(x) + C
0 C
αxα -1 xα + C
1/x (x ≠ 0) ln⁡(x) + C nếu x > 0, ln⁡(-x) + C nếu x < 0.
ex ex + C
axlna (a > 1, a ≠ 0) ax + C
Cosx sinx + C
– sinx cosx + C
1/(cosx)2 tanx + C
(-1)/(sinx)2 cotx + C

a) Cho ∫(x – 1)10 dx. Đặt u = x – 1, hãy viết (x – 1)10dx theo u và du.

b)∫Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12 Tra Loi Cau Hoi Toan 12 Giai Tich Bai 1 Trang 98 . Đặt x = et, hãy viết Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12 Tra Loi Cau Hoi Toan 12 Giai Tich Bai 1 Trang 98 theo t và dt.

a) Ta có (x – 1)10dx = u10 du (do du = d(x – 1) = dx.

b) Ta có dx = d(et) = et dt, do đó Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12 Tra Loi Cau Hoi Toan 12 Giai Tich Bai 1 Trang 98 1

Hãy tính ∫ (xcosx)’ dx và ∫ cosxdx. Từ đó tính ∫ xsinxdx.

Lời giải:

Ta có ∫ (xcosx)’dx = (xcosx) và ∫ cosxdx = sinx. Từ đó

∫ xsinxdx = – ∫ [(xcosx)’ – cosx]dx = -∫ (xcosx)’dx + ∫ cosxdx = – xcosx + sinx + C.

∫ P(x)ex dx ∫ P(x)cosxdx ∫ P(x)lnxdx
P(x)
exdx

Lời giải:

∫ P(x)ex dx ∫ P(x)cosxdx ∫ P(x)lnxdx
P(x) P(x) P(x)lnx
exdx cosxdx dx

Bài 1 (trang 100 SGK Giải tích 12): 

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?

nguyên hàm

Lời giải:

a) Ta có: (-e-x)’ = -e-x.(-x)’ = e-x

⇒ -e-x là một nguyên hàm của hàm số e-x

nguyên hàm

b) (sin2x)’ = 2.sinx.(sinx)’ = 2.sinx.cosx = sin2x

⇒ sin2x là một nguyên hàm của hàm số .

Giải bài 1 trang 100 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 1 Trang 100 Sgk Giai Tich 12 4

nguyên hàm

Giải bài 1 trang 100 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 1 Trang 100 Sgk Giai Tich 12 6 là một nguyên hàm của hàm số Giải bài 1 trang 100 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 1 Trang 100 Sgk Giai Tich 12 7

nguyên hàm

Bài 2 (trang 100 SGK Giải tích 12): 

Tìm hiểu nguyên hàm của các hàm số sau:

nguyên hàm

Lời giải:

nguyên hàm

nguyên hàm

nguyên hàm

nguyên hàm

Giải bài 2 trang 100 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 2 Trang 100 Sgk Giai Tich 12 8

Bài 3 (trang 101 SGK Giải tích 12)

Sử dụng phương pháp đổi biến, hãy tính:

nguyên hàm

Lời giải:

a) Đặt u = 1 – x ⇒ u’(x) = -1⇒ du = -dx

Giải bài 3 trang 101 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 3 Trang 101 Sgk Giai Tich 12 2

Thay u = 1 – x vào kết quả ta được :

nguyên hàm

b) Đặt u = 1 + x2 ⇒ u’ = 2x ⇒ du = 2x.dx

nguyên hàm

Thay lại u = 1+ x2 vào kết quả ta được:

Giải bài 3 trang 101 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 3 Trang 101 Sgk Giai Tich 12 5

c) Đặt u = cosx ⇒ u’ = -sinx ⇒ du = -sinx.dx

Giải bài 3 trang 101 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 3 Trang 101 Sgk Giai Tich 12 6

Thay lại u = cos x vào kết quả ta được:

Giải bài 3 trang 101 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 3 Trang 101 Sgk Giai Tich 12 11

d) Ta có:

Giải bài 3 trang 101 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 3 Trang 101 Sgk Giai Tich 12 7

Bài 4 (trang 101 SGK Giải tích 12): 

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

nguyên hàm

Lời giải:

Giải bài 4 trang 101 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 4 Trang 101 Sgk Giai Tich 12 4

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

nguyên hàm

b) Đặt

Giải bài 4 trang 101 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 4 Trang 101 Sgk Giai Tich 12 6

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

Giải bài 4 trang 101 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 4 Trang 101 Sgk Giai Tich 12 7

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

Giải bài 4 trang 101 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 4 Trang 101 Sgk Giai Tich 12 8

Giải bài 4 trang 101 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 4 Trang 101 Sgk Giai Tich 12 9

nguyên hàm

Lời kết:

Vậy là cô và các bạn đã cùng hoàn thành xong bài học ​Nguyên Hàm rồi đó, các bạn đã nắm được hết kiến thức chưa nhỉ? Cô thấy rất vui vì các bạn hoàn thành tốt bài học hôm nay.

Các bạn có thể tham khảo thêm nhiều bài học thú vị và bổ ích khác tại Toppy. Toppy sẽ giúp các em học tốt và tìm được niềm đam mê với môn học yêu thích! Chúc các bạn học tập thật tốt! Chúng ta sẽ gặp lại nhau trong những bài học tiếp theo nhé! 

Xem thêm các bài viết có liên quan:

Phương Thoan

Là một giáo viên Toán với hơn 3 năm giảng dạy tôi mong muốn được chia sẻ nhiều hơn những kiến thức của tôi đến các em học sinh trên mọi miền tổ quốc

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *