Tích vô hướng của 2 vecto – Học toán lớp 10 cùng itoan

Bài học hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau học Tích vô hướng của 2 vecto. Đối với nhiều bạn Tích vô hướng của 2 vecto là phần kiến thức khá phức tạp và khó hiểu của chương trình hình học lớp 10. Tuy nhiên, các em học sinh cũng đừng quá lo lắng và nản chí vì itoan đã tổng hợp tất cả các kiến thức quan trọng của bài học này trong bài viết dưới đây. Cùng iToan theo dõi nhé!

Mục tiêu bài học

Trước khi đi vào bài học chính, các em hãy cùng itoan xác định mục tiêu cần đạt được sau buổi học ngày hôm nay nhé!

  • Nắm chắc lý thuyết: Tích vô hướng của 2 vecto là gì?
  • Áp dụng kiến thức lý thuyết vào bài tập Tích vô hướng của 2 vecto.

Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp ánToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án đều khác vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án. Tích vô hướng của Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp ánToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án là một số, kí hiệu là Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án , Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp ánđược xác định bởi công thức sau:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp ánToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án bằng vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án ta quy ước:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Chú ý

+) Với Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp ánToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án khác vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án ta có: Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

+) Khi Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án = Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án tích vô hướng Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án được kí hiệu là Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Ta có: Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

2. Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng:

Lý thuyết tích vô hướng của hai vecto

Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:

Lý thuyết tích vô hướng của hai vecto

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án, cho hai vectơ: Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Khi đó tích vô hướng Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án . Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Nhận xét.

Hai vectơ: Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án đều khác vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án vuông góc với nhau khi và chỉ khi: a1b1 + a2b2 = 0.

4. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án = (a1, a2), được tính theo công thức:  Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

b) Góc giữa hai vectơ

Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án = (a1, a2) và Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án = (b1, b2) đều khác Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án thì ta có: Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

c) Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) được tính theo công thức: Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Bài tập sách giáo khoa

Bài 2 trang 42:

Cho hai vectơ a→ và b→đều khác 0→. Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ đó là số dương ? Là số âm ? Bằng 0 ?

Hướng dẫn giải:

Bài 2 trang 42

Bài 2 trang 44:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; 4), B(1; 2), C(6; 2). Chứng minh vectơ AB ⊥ vectơ AC.

Bài 2 trang 44 sgk

Bài 1 (trang 45 SGK Hình học 10):

Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng  Giải bài 1 trang 45 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Bài 1 trang 45 sgk

Giải bài 1 trang 45 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Bài 2 (trang 45 SGK Hình học 10):

Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng Giải bài 2 trang 45 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10 trong hai trường hợp:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB;

b) Điểm O nằm trong đoạn AB.

Hướng dẫn giải:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB :

Bài 2 trang 45

b) Điểm O nằm trong đoạn AB :

Bài 2 trang 45 sgk

Bài 3 (trang 45 SGK Hình học 10):

Cho nửa hình tròn tâm O có đường kính AB=2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I.

a) Chứng minh Giải bài 3 trang 45 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10Giải bài 3 trang 45 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

b) Hãy dùng kết quả câu a) để tính Giải bài 3 trang 45 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10 theo R.

Hướng dẫn giải:

Bài 3 trang 45 sgk

Bài 3 trang 45 sgk

Giải bài 3 trang 45 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Bài 4 (trang 45 SGK Hình học 10):

Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2).

a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB.

b) Tính chu vi tam giác OAB.

c) Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.

Hướng dẫn giải: 

Bài 4 trang 45 sgk

a) D nằm trên trục Ox nên D có tọa độ D(x ; 0)

Khi đó :

Bài 4 trang 45

Bài 4 trang 45 sgk

Giải bài 4 trang 45 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Vậy chu vi tam giác OAB là P = AO + BO + AB = √10 + 2√5 + √10 = 2√5 + 2√10

Bài 4 trang 45 sgk

Bài 5 (trang 46 SGK Hình học 10):

Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ a→ và b→ trong các trường hợp sau:

Bài 5 trang 46

Hướng dẫn giải:

Bài 5 trang 46 sgk

Bài 5 trang 46 sgk

Bài 6 (trang 46 SGK Hình học 10):

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm: A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; –2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.

Hướng dẫn giải:

Bài 6 trang 46 sgk

Bài 6 trang 46 sgk

⇒ ABCD là hình bình hành.

Giải bài 6 trang 46 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

⇒ hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Giải bài 6 trang 46 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

⇒ AB = AD ⇒ Hình chữ nhật ABCD là hình vuông (ĐPCM).

Bài 7 (trang 46 SGK Hình học 10):

Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2; 1). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ của điểm C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác vuông ở C.

Hướng dẫn giải:

Bài 7 trang 46 sgk

B đối xứng với A qua O ⇒ O là trung điểm của AB

Giải bài 7 trang 46 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

C có tung độ bằng 2 nên C(x; 2)

Giải bài 7 trang 46 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Tam giác ABC vuông tại C

Giải bài 7 trang 46 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Vậy có hai điểm C thỏa mãn là C1(1; 2) và C2(–1; 2).

Lời kết

Sau buổi học ngày hôm nay, các em đã nắm được lý thuyết Tích vô hướng của 2 vecto. Đồng thời, các em còn được hướng dẫn về cách vận dụng các lý thuyết vào việc giải bài tập đúng cách, nhanh chóng. Nếu các em còn thắc mắc vấn đề gì hãy liên hệ ngay với itoan để được tư vấn và giúp đỡ nhé.

Xem thêm: 

Rate this post

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.